Определение основных тригонометрических функций

Определение 1: Синус и косинус

.

Рассмотрим числовую окружность, где точка M с координатами (x, y) соответствует числу t . Абсциссу этой точки называют косинусом числа t и обозначают \cos t , а ординату — синусом числа t и обозначают \sin t . Таким образом:

M(t) = (x, y) \implies x = \cos t, \quad y = \sin t

Отсюда следует, что значения синуса и косинуса всегда лежат в пределах от -1 до 1:

-1 \leqslant \sin t \leqslant 1, \quad -1 \leqslant \cos t \leqslant 1

Определение 2: Тангенс и котангенс

Тангенс числа t определяется как отношение синуса к косинусу того же числа и обозначается \operatorname{tg} t :

\operatorname{tg} t = \cfrac{\sin t}{\cos t}

Котангенс числа t определяется как отношение косинуса к синусу того же числа и обозначается \operatorname{ctg} t :

\operatorname{ctg} t = \cfrac{\cos t}{\sin t}

Важно помнить, что тангенс и котангенс определены только при тех значениях t , для которых знаменатель не равен нулю:

• \operatorname{tg} t существует при \cos t \neq 0
• \operatorname{ctg} t существует при \sin t \neq 0

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Числовая окружность делится на четыре четверти, и в каждой из них координаты x и y имеют свои знаки:

• I четверть: x \gt; 0 , y \gt; 0
• II четверть: x \lt; 0 , y \gt; 0
• III четверть: x \lt; 0 , y \lt; 0
• IV четверть: x \gt; 0 , y \lt; 0

Это позволяет составить таблицу знаков тригонометрических функций по четвертям:

Основное тригонометрическое тождество

Уравнение числовой окружности записывается как:

x^2 + y^2 = 1

Подставляя выражения для x = \cos t и y = \sin t , получаем важное тригонометрическое тождество:

\cos^2 t + \sin^2 t = 1

Таблицы значений тригонометрических функций

Значения синуса и косинуса для некоторых характерных углов приведены в таблицах:

Таблица 1: Значения синуса и косинуса

Таблица 2: Дополнительные значения для \cfrac{\pi}{6} и \cfrac{\pi}{3}

Таблица 3: Значения тангенса и котангенса

Примеры решения задач

Пример 1: Вычислить \cos t и \sin t

1. Для t = \cfrac{45 \pi}{4} : t = \cfrac{45 \pi}{4} соответствует \cfrac{5 \pi}{4} . Из таблиц получаем:

   \cos \cfrac{45 \pi}{4} = -\cfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \cfrac{45 \pi}{4} = -\cfrac{\sqrt{2}}{2}

2. Для t = -\cfrac{37 \pi}{3} : Это значение эквивалентно t = \cfrac{5 \pi}{3} . Используя таблицы:

   \cos \Big(-\cfrac{37 \pi}{3}\Big) = \cfrac{1}{2}, \quad \sin \Big(-\cfrac{37 \pi}{3}\Big) = -\cfrac{\sqrt{3}}{2}

Пример 2: Решить уравнение \sin t = \cfrac{1}{2}

Нам нужно найти все значения t , для которых синус равен \cfrac{1}{2} . По таблице определяем:

t = \cfrac{\pi}{6} + 2 \pi k \quad \text{или} \quad t = \cfrac{5\pi}{6} + 2 \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}

Заключение

В данном параграфе рассмотрены основные тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс и котангенс. Они связаны друг с другом и описываются через значения координат точек числовой окружности. Составлены таблицы значений для некоторых характерных углов, а также рассмотрены примеры решения уравнений и неравенств, содержащих тригонометрические функции.

.

Если точка M числовой окружности со­ ответствует числу t, то абсциссу точки M называют косину­сом числа t и обозначают \cos t, а ординату точки M называют синусом числа t и обозначают \sin t

Расставьте знаки косинуса

• 1 чет. +
• 2 чет. -
• 3 чет. -
• 4 чет. +

Расставьте знаки синуса

• 1 чет. +
• 2 чет. +
• 3 чет. -
• 4 чет. -

\sin \cfrac{\pi}{4} = \cfrac{\sqrt{2}}{{2}} \sqrt{3}{n} 0{n} 1{n}

\cos \cfrac{\pi}{4} = \cfrac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{3}{n} 0{n} 1{n}

Найдите правильный ответ

\cos \cfrac{3 \pi}{4} =-\cfrac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{3}{n} 0{n} 1{n}

Найдите правильный ответ

\cos \pi =-1 0{n} 1{n} \cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} \cfrac{\sqrt{3}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{3}}{2}{n}

Найдите правильный ответ

\cos \cfrac{5 \pi}{4} = -\cfrac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{3}{n} 0{n} 1{n}

Найдите правильный ответ

\cos \cfrac{3 \pi}{2} =0

1{n} -1{n} \cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} \cfrac{\sqrt{3}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{3}}{2}{n}

Найдите правильный ответ

\cos 0 =1

0{n} -1{n} \cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} \cfrac{\sqrt{3}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{3}}{2}{n}

\sin 0=0

1{n} -1{n} \cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} \cfrac{\sqrt{3}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{3}}{2}{n} \cfrac{1}{2}{n} -\cfrac{1}{2}{n}

\sin \cfrac{\pi}{4}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}

\sqrt{3}{n} 0{n} 1{n}

\sin \cfrac{\pi}{2}=1

0{n} -1{n} \cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} \cfrac{\sqrt{3}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{3}}{2}{n} \cfrac{1}{2}{n} -\cfrac{1}{2}{n}

\sin \cfrac{3 \pi}{4}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}

0{n} 1{n}

\sin \pi=0

1{n} -1{n} \cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} \cfrac{\sqrt{3}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{3}}{2}{n} \cfrac{1}{2}{n} -\cfrac{1}{2}{n}

\sin \cfrac{5 \pi}{4}=-\cfrac{\sqrt{2}}{2}

0{n} 1{n} \sqrt{3}{n}

\sin\cfrac{3 \pi}{2}=-1

0{n} 1{n} \cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} \cfrac{\sqrt{3}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{3}}{2}{n}

\cos\cfrac{\pi}{6}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}

0{n} 1{n} -1{n} \cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{3}}{2}{n} \cfrac{1}{2}{n} -\cfrac{1}{2}{n}

\cos\cfrac{ \pi}{3}=\cfrac{1}{2}

0{n} 1{n} -1{n} \cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} \cfrac{\sqrt{3}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{3}}{2}{n} -\cfrac{1}{2}{n}

\cos\cfrac{2 \pi}{3}=-\cfrac{1}{2}

0{n} 1{n} -1{n} \cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} \cfrac{\sqrt{3}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{3}}{2}{n} \cfrac{1}{2}{n}

\cos\cfrac{5 \pi}{6}=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}

0{n} 1{n} -1{n} \cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} \cfrac{\sqrt{3}}{2}{n} \cfrac{1}{2}{n} -\cfrac{1}{2}{n}

\cos\cfrac{4 \pi}{3}=-\cfrac{1}{2}

0{n} 1{n} -1{n} \cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} \cfrac{\sqrt{3}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{3}}{2}{n}

\sin \cfrac{\pi}{6}=\cfrac{1}{2}

0{n} 1{n} -1{n} \cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} \cfrac{\sqrt{3}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{3}}{2}{n} -\cfrac{1}{2}{n}

\sin \cfrac{\pi}{3}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}

0{n} 1{n} -1{n} \cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{3}}{2}{n} \cfrac{1}{2}{n} -\cfrac{1}{2}{n}

\sin \cfrac{2 \pi}{3}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}

0{n} 1{n} -1{n} \cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{3}}{2}{n} \cfrac{1}{2}{n} -\cfrac{1}{2}{n}

\sin \cfrac{5 \pi}{6}=\cfrac{1}{2}

0{n} 1{n} -1{n} \sqrt{2}{n} \sqrt{3}{n}

\sin \cfrac{4 \pi}{3}=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}

0{n} 1{n} -1{n} \cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} -\cfrac{\sqrt{2}}{2}{n} \cfrac{\sqrt{3}}{2}{n} \cfrac{1}{2}{n} -\cfrac{1}{2}{n}