Преобразование выражений, содержащих радикалы

В предыдущих параграфах мы познакомились с операцией извлечения корня n -й степени из действительного числа и изучили основные свойства этой операции. Эти свойства, применимые только для неотрицательных значений переменных под знаками корней, являются фундаментом для упрощения и преобразования иррациональных выражений. В данном параграфе мы рассмотрим методы преобразования выражений с радикалами, используя изученные теоремы, и приведем подробные примеры для закрепления материала.

Основные свойства корней n -й степени

Для удобства напомним основные свойства корней n -й степени, которые мы изучили ранее:

\begin{gathered} (\sqrt[n]{a})^n = a; \quad \sqrt[n]{a^n} = a \\ \sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \\ \sqrt[n]{\cfrac{a}{b}} = \cfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \quad (b \neq 0) \\ (\sqrt[n]{a})^k = \sqrt[n]{a^k} \\ \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a} \\ \sqrt[np]{a^{kp}} = \sqrt[n]{a^k} \end{gathered}

Эти формулы позволяют выполнять различные операции с радикалами, такие как умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня из корня.

Примеры преобразований иррациональных выражений

Рассмотрим несколько примеров, демонстрирующих применение вышеуказанных свойств для упрощения выражений, содержащих радикалы.

Пример 1. Упрощение выражений

Задание: Упростить выражения: a) \sqrt[4]{32 a^5} ; б) \Big(\sqrt[3]{a^2}\Big)^5 .

Решение:

а) \sqrt[4]{32 a^5}

1. Представим подкоренное выражение 32 a^5 в виде произведения степеней, удобных для применения теорем:

   32 a^5 = 16 \cdot a^4 \cdot 2a

2. Воспользуемся свойством корней из произведения (теорема 2):

   \sqrt[4]{32 a^5} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{2a} = 2 \cdot a \cdot \sqrt[4]{2a} = 2a \sqrt[4]{2a}

Полученное выражение считается более простым, так как под знаком корня находится упрощенное выражение. Такой подход называется вынесением множителя за знак радикала.

б) \Big(\sqrt[3]{a^2}\Big)^5

1. Применим свойство возведения корня в степень (теорема 3):

   \Big(\sqrt[3]{a^2}\Big)^5 = \sqrt[3]{\Big(a^2\Big)^5} = \sqrt[3]{a^{10}}

2. Представим a^{10} в виде произведения удобных степеней:

   a^{10} = a^9 \cdot a

3. Воспользуемся свойством корней из произведения:

   \sqrt[3]{a^{10}} = \sqrt[3]{a^9} \cdot \sqrt[3]{a} = a^3 \cdot \sqrt[3]{a}

Таким образом, удалось вынести множитель за знак радикала, получив более простое выражение.

Пример 2. Сравнение чисел с радикалами

Задание: Сравнить числа 2 \sqrt[3]{3} и 3 \sqrt[3]{2} .

Решение:

1. Преобразуем множители к общему виду:

   2 = \sqrt[3]{8}, \quad 3 = \sqrt[3]{27}

2. Запишем выражения через корни:

   2 \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{24}

   3 \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{54}

3. Сравним полученные значения:

   \sqrt[3]{24} lt; \sqrt[3]{54} \implies 2 \sqrt[3]{3} lt; 3 \sqrt[3]{2}

Таким образом, 2 \sqrt[3]{3} меньше, чем 3 \sqrt[3]{2} .

Пример 3. Упрощение сложного радикала

Задание: Упростить выражение \sqrt[4]{x^2 \cdot \sqrt[3]{x}} .

Решение:

1. Вынесем множитель x^2 из под знака радикала \sqrt[3]{x} с помощью теоремы 2:

   x^2 \cdot \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{x^6} \cdot \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{x^6 \cdot x} = \sqrt[3]{x^7}

2. Теперь выражение можно записать как:

   \sqrt[4]{x^2 \cdot \sqrt[3]{x}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{x^7}} = \sqrt[12]{x^7}

Таким образом, удалось преобразовать выражение в более простой вид.

Пример 4. Выполнение действий с радикалами

Задание:
а) (\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})
б) (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})

Решение:

а) Применение формулы разности квадратов:

(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}) = (\sqrt[4]{a})^2 - (\sqrt[4]{b})^2 = \sqrt{a} - \sqrt{b}

Используя формулу \sqrt[2n]{a^{2n}} = |a| (общая форма для четных степеней корней), и предполагая, что a и b неотрицательны, получаем:

\sqrt{a} - \sqrt{b}

б) Применение формулы разности кубов:

(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})\Big(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}\Big) = (\sqrt[3]{a})^3 - (\sqrt[3]{b})^3 = a - b

Таким образом, произведение раскрылось до простой разности a - b .

Пример 5. Упрощение выражений с разными показателями радикалов

Задание:
a) \sqrt[8]{x^3} \cdot \sqrt[12]{x^{11}} ;
б) \sqrt{\sqrt{5} - 2} \cdot \sqrt[4]{4 \sqrt{5} + 9}

Решение:

а) Упрощение выражения \sqrt[8]{x^3} \cdot \sqrt[12]{x^{11}} :

1. Приведем радикалы к одному показателю степени с помощью теоремы 5:

   \sqrt[8]{x^3} = \sqrt[24]{x^9}, \quad \sqrt[12]{x^{11}} = \sqrt[24]{x^{22}}

2. Перемножим радикалы одинаковой степени:

   \sqrt[24]{x^9} \cdot \sqrt[24]{x^{22}} = \sqrt[24]{x^{31}} = \sqrt[24]{x^{24} \cdot x^7} = \sqrt[24]{x^{24}} \cdot \sqrt[24]{x^7} = |x| \cdot \sqrt[24]{x^7}

   При условии x \geq 0 (для упрощения), получаем:

   x \cdot \sqrt[24]{x^7}

б) Упрощение выражения \sqrt{\sqrt{5} - 2} \cdot \sqrt[4]{4 \sqrt{5} + 9} :

1. Преобразуем первый множитель:

   \sqrt{\sqrt{5} - 2} = \sqrt[4]{(\sqrt{5} - 2)^2} = \sqrt[4]{5 - 4 \sqrt{5} + 4} = \sqrt[4]{9 - 4 \sqrt{5}}

2. Преобразуем второй множитель:

   \sqrt[4]{4 \sqrt{5} + 9} = \sqrt[4]{(\sqrt{5} + 2)^2} = \sqrt[4]{\sqrt{5} + 2}^2 = \sqrt{\sqrt{5} + 2}

3. Перемножим радикалы:

   \sqrt[4]{9 - 4 \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{9 + 4 \sqrt{5}} = \sqrt[4]{(9 - 4 \sqrt{5})(9 + 4 \sqrt{5})} = \sqrt[4]{81 - 80} = \sqrt[4]{1} = 1

Таким образом, произведение радикалов равно единице.

Пример 6. Разложение на множители выражения с радикалами

Задание: Разложить на множители выражение:

\sqrt[5]{x^4} - 4 \sqrt[5]{x^2 y} + 4 \sqrt[5]{y^2}

Решение:

1. Представим выражение как полный квадрат:

   \sqrt[5]{x^4} - 4 \sqrt[5]{x^2 y} + 4 \sqrt[5]{y^2} = \Big(\sqrt[5]{x^2}\Big)^2 - 2 \cdot 2 \sqrt[5]{x^2} \cdot \sqrt[5]{y} + \Big(2 \sqrt[5]{y}\Big)^2

2. Заметим, что это квадрат разности:

   \Big(\sqrt[5]{x^2} - 2 \sqrt[5]{y}\Big)^2

Таким образом, выражение разложено на множители:

\sqrt[5]{x^4} - 4 \sqrt[5]{x^2 y} + 4 \sqrt[5]{y^2} = \Big(\sqrt[5]{x^2} - 2 \sqrt[5]{y}\Big)^2

Пример 7. Сокращение дроби с радикалами

Задание: Сократить дробь:

\cfrac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x} - 2 \sqrt[4]{x y} + \sqrt{y}}

Решение:

Первый способ:

1. Преобразуем знаменатель:

   \sqrt{x} - 2 \sqrt[4]{x y} + \sqrt{y} = \sqrt[4]{x^2} - 2 \sqrt[4]{x y} + \sqrt[4]{y^2} = \Big(\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}\Big)^2

2. Преобразуем числитель:

   \sqrt{x} - \sqrt{y} = \sqrt[4]{x^2} - \sqrt[4]{y^2} = \Big(\sqrt[4]{x}\Big)^2 - \Big(\sqrt[4]{y}\Big)^2 = \Big(\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}\Big) \cdot \Big(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}\Big)

3. Сократим дробь:

   \cfrac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x} - 2 \sqrt[4]{x y} + \sqrt{y}} = \cfrac{\Big(\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}\Big) \cdot \Big(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}\Big)}{\Big(\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}\Big)^2} = \cfrac{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}}{\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}}

Второй способ:

1. Введем новые переменные: \sqrt[4]{x} = a , \sqrt[4]{y} = b . Тогда \sqrt{x} = a^2 , \sqrt{y} = b^2 .

2. Запишем дробь через a и b :

   \cfrac{a^2 - b^2}{a^2 - 2ab + b^2}

3. Разложим числитель и знаменатель:

   \cfrac{(a - b)(a + b)}{(a - b)^2} = \cfrac{a + b}{a - b} = \cfrac{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}}{\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}}

Таким образом, оба способа приводят к одинаковому результату.

Заключение

В данном параграфе мы рассмотрели основные свойства корней n -й степени и научились применять их для упрощения и преобразования выражений с радикалами. Использование теорем позволяет выполнять операции умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня из корня, что значительно упрощает работу с иррациональными выражениями. Важно помнить, что для сложения и вычитания корней подобных свойств нет, и необходимо внимательно подходить к их упрощению.

Продолжая изучение свойств радикалов, мы рассмотрим более сложные примеры и дополнительные теоремы, расширяющие наши возможности в работе с радикалами.

Упростить выражения.

\sqrt[4]{32a^{5}}=\sqrt[4]{ 16 \cdot 2 \cdot a^4 \cdot a}= 2a \sqrt[4]{2a}

Упростить выражение

\sqrt[4]{x^{2}\cdot{\sqrt[3]{x}}}=

\sqrt[4]{{\sqrt[3]{x^{6} \cdot x}}}=\sqrt[12]{x^{7}}

Упростите. Распишите этапы решений

(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})=

(\sqrt[4]{a})^{2} - (\sqrt[4]{b})^{2} =

\sqrt[4]{a^2} - \sqrt[4]{b^2} = \sqrt{a} - \sqrt{b}

Выполните действия. Вначале приведите корни к одной степени.

\sqrt[8]{x^3} \cdot \sqrt[12]{x^{11}}=

\sqrt[8\cdot 3]{x^{3\cdot 3}} \cdot \sqrt[12\cdot 2]{x^{11 \cdot 2}}=

\sqrt[24]{x^{9}} \cdot \sqrt[24]{x^{22}}=

\sqrt[24]{x^{31}} =\sqrt[24]{x^{24} \cdot x^{7}}= x \sqrt{ x^{7}}

Разложить на множители выражение

\sqrt[5]{x^4}-4\sqrt[5]{x^2y}+4\sqrt[5]{y^2}=

(\sqrt[5]{x^2})^{2}-2\sqrt[5]{x^2}\cdot 2\sqrt[5]{y}+(2\sqrt[5]{y})^{2}=

( \sqrt[5]{x^{2}} - 2\sqrt[5]{y} )^2

\sqrt[4]{n^{13}}=

\sqrt[4]{n^{4} \cdot n^{4} \cdot n^{4} \cdot n}=

\sqrt[4]{n^{3 \cdot 4}} \cdot \sqrt[4]{n}=n^{3}