Тест по теме: Число е

Число e

Рассмотрим показательную функцию y = a^x , где a > 1 . Все такие функции обладают общими свойствами:

1. Они проходят через точку (0; 1) .
2. Имеют горизонтальную асимптоту y = 0 при x \to -\infty .
3. Их графики выпуклы вниз.
4. В каждой точке функции можно провести касательную.

Изучая касательные к графикам функций y = a^x в точке x = 0 , можно заметить:

• Для y = 2^x , угол между касательной и осью x равен примерно 35^\circ .
• Для y = 3^x , этот угол больше: около 48^\circ .
• Для y = 10^x , угол достигает 66,5^\circ .

Если основание a постепенно увеличивается, угол между касательной в точке x = 0 и осью абсцисс также растёт. Логично предположить, что существует такое основание a , для которого угол равен ровно 45^\circ . Это основание обозначается буквой e . Оно заключено между 2 и 3 , и его значение: e = 2.7182818284590\ldots На практике обычно используют приближённое значение e \approx 2.7 .

---

График функции y = e^x

График функции y = e^x обладает особыми свойствами. В частности:

• В точке x = 0 , угол между касательной к графику и осью абсцисс равен 45^\circ , то есть коэффициент наклона касательной равен 1 .
• Этот график называют экспонентой.

---

Свойства функции y = e^x :

1. Область определения: D(f) = (-\infty; +\infty) .
2. Не является ни чётной, ни нечётной.
3. Функция строго возрастает.
4. Ограничена снизу (горизонтальная асимптота y = 0 ), но не ограничена сверху.
5. Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
6. Непрерывна на всей области определения.
7. Область значений: E(f) = (0; +\infty) .
8. Выпукла вниз на всей области определения.

---

Дифференцирование функции y = e^x :

Главное свойство экспоненты — её производная равна самой функции: \left(e^x\right)' = e^x.

---

Примеры

Пример 1. Уравнение касательной к y = e^x в точке x = 1

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x = a имеет вид: y = f(a) + f'(a)(x - a). Для функции f(x) = e^x :

1. a = 1 ,
2. f(a) = e^1 = e ,
3. f'(a) = e^1 = e .

Подставляем в уравнение касательной: y = e + e(x - 1) = ex.

Ответ: y = ex .

---

Пример 2. Вычислить производную y = e^{4x - 12} в точке x = 3 .

Используем правило дифференцирования y = f(kx + m) , где: y' = k \cdot f'(kx + m). В нашем случае f(kx + m) = e^{4x - 12} , а k = 4 . Тогда: y' = 4 \cdot e^{4x - 12}. В точке x = 3 : y'(3) = 4 \cdot e^{4 \cdot 3 - 12} = 4 \cdot e^0 = 4.

Ответ: 4 .

---

Пример 3. Исследование функции y = x^2 e^x на экстремумы

1. Найдём производную: y' = \left(x^2 e^x\right)' = \left(x^2\right)' e^x + x^2 \left(e^x\right)' = 2x e^x + x^2 e^x = x e^x (x + 2).

2. Критические точки — значения x , при которых y' = 0 : x e^x (x + 2) = 0. Производная равна нулю при: x = 0 \quad \text{и} \quad x = -2.

3. Определим знак производной на промежутках (-\infty, -2) , (-2, 0) , (0, +\infty) .

   • На (-\infty, -2) : y' > 0 ,
   • На (-2, 0) : y' < 0 ,
   • На (0, +\infty) : y' > 0 .

4. Вывод: x = -2 — точка максимума, x = 0 — точка минимума.

Значения функции в этих точках:

• y_{\text{max}} = (-2)^2 \cdot e^{-2} = \frac{4}{e^2} \approx 0.5 ,
• y_{\text{min}} = 0^2 \cdot e^0 = 0 .

---

Замечание

Функция y = e^{kx} обладает свойством: \left(e^{kx}\right)' = k e^{kx}. Она описывает множество реальных процессов, таких как радиоактивный распад, рост вкладов в банке, и другие.