Тест по теме: Однородные тригонометрические уравнения второй степени

Однородные тригонометрические уравнения второй степени

Однородные тригонометрические уравнения второй степени представляют собой класс уравнений, которые часто встречаются в задачах на тригонометрию. Эти уравнения включают функции синуса и косинуса одного и того же аргумента и имеют вид:

A\sin^2x + B\sin x \cos x + C\cos^2x = 0

где A , B и C — коэффициенты, которые могут быть произвольными числами, и x — переменная (угол в радианах или градусах). Такие уравнения называются однородными, так как все их члены имеют одну и ту же степень относительно тригонометрических функций.

Рассмотрим основные шаги решения таких уравнений и разберём их на примерах.

Методика решения однородных тригонометрических уравнений второй степени

Для решения однородных тригонометрических уравнений второй степени часто используется один из следующих подходов:

1. Замена тригонометрических функций через тангенс или котангенс. Этот метод основан на разделении уравнения на косинус или синус.

   Если уравнение выражено через синус и косинус, можно поделить все его члены на \cos^2 x (если \cos x \neq 0 ) или на \sin^2 x (если \sin x \neq 0 ) для того, чтобы упростить его до выражения с тангенсом или котангенсом. Это помогает преобразовать уравнение во второй степени относительно одной функции.

2. Замена тригонометрических функций. Используя основное тригонометрическое тождество \sin^2 x + \cos^2 x = 1 , можно преобразовать уравнение в одну тригонометрическую функцию, что позволяет получить стандартное квадратное уравнение.

3. Факторизация (разложение на множители). В некоторых случаях можно разложить уравнение на множители, что позволяет решить его как произведение двух или более выражений, каждое из которых равно нулю.

Пример 1. Решение уравнения через тангенс

Рассмотрим уравнение:

2\sin^2 x - 3\sin x \cos x + \cos^2 x = 0

Шаг 1. Разделение на \cos^2 x .

Для упрощения уравнения поделим его на \cos^2 x (при условии, что \cos x \neq 0 ):

\cfrac{2\sin^2 x}{\cos^2 x} - \cfrac{3\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \cfrac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0

2\operatorname{tg}^2 x - 3\operatorname{tg} x + 1 = 0

Мы получили квадратное уравнение относительно \operatorname{tg} x .

Шаг 2. Решение квадратного уравнения.

Решим это уравнение методом дискриминанта:

D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1

Корни уравнения:

\operatorname{tg} x_1 = \cfrac{3 + 1}{2 \cdot 2} = 1, \quad \operatorname{tg} x_2 = \cfrac{3 - 1}{2 \cdot 2} = 0.5

Шаг 3. Найдём решения для x .

Для первого корня \operatorname{tg} x = 1 :

x = \text{arctg} 1 + \pi n = \cfrac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

Для второго корня \operatorname{tg} x = 0.5 :

x = \text{arctg} 0.5 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

Пример 2. Решение уравнения через замену тригонометрической функции

Рассмотрим уравнение:

\sin^2 x - 2\sin x \cos x = 0

Шаг 1. Вынесем общий множитель за скобку.

Вынесем \sin x за скобку:

\sin x (\sin x - 2 \cos x) = 0

Теперь у нас два уравнения:

1. \sin x = 0
2. \sin x - 2 \cos x = 0

Шаг 2. Решим каждое уравнение отдельно.

1. \sin x = 0

Решение этого уравнения:

x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

2. \sin x = 2 \cos x

Разделим обе части на \cos x (при условии \cos x \neq 0 ):

\operatorname{tg} x = 2

Решение:

x = \text{arctg} 2 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

Таким образом, общее решение уравнения:

x = \pi n \quad \text{или} \quad x = \text{arctg} 2 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

Пример 3. Применение основного тригонометрического тождества

Рассмотрим уравнение:

3\sin^2 x - 2\cos^2 x = 0

Шаг 1. Преобразование уравнения через основное тождество.

Используем тождество \cos^2 x = 1 - \sin^2 x :

3\sin^2 x - 2(1 - \sin^2 x) = 0

Раскроем скобки:

3\sin^2 x - 2 + 2\sin^2 x = 0

Приведём подобные слагаемые:

5\sin^2 x = 2

Шаг 2. Решение уравнения.

\sin^2 x = \cfrac{2}{5}

\sin x = \pm \sqrt{\cfrac{2}{5}}

Шаг 3. Найдём решения для x .

x = \arcsin \Big( \sqrt{\cfrac{2}{5}} \Big) + 2\pi n \quad

\text{или} \quad x = \pi - \arcsin \Big( \sqrt{\cfrac{2}{5}} \Big) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

Если первый коэффициент равен нолю a=0 то уравнение можно разложить на множители a\sin^{2}x+b\sin x\cos x+c\cos^{2}x=0

b\sin x\cos x+c\cos^{2}x=0

\cos x (b\sin x+c\cos x)=0

\cos x=0 \text{ или } b\sin x+c\cos x=0

\sin ^2 x+\sin x \cdot \cos x=0 \quad \mid: \sin ^2 x

1+\operatorname{ctg} x=0 ;

\operatorname{ctg} x=-1 ;

\operatorname{tg} x=-1 ;

x=-\operatorname{arctg} 1+\pi n=-\cfrac{\pi}{4}+\pi n ;

Одно из решений:

\sin x=0 ;

x=\pi n ;

\text { Ответ: }-\cfrac{\pi}{4}+\pi n ; \pi n .

\sqrt{3} \sin x \cdot \cos x+\cos ^2 x=0 \quad \mid: \cos ^2 x

\sqrt{3} \operatorname{tg} x+1=0 ;

\sqrt{3} \operatorname{tg} x=-1 ;

\operatorname{tg} x=-\cfrac{1}{\sqrt{3}} ;

x=-\operatorname{arctg} \cfrac{1}{\sqrt{3}}+\pi n=-\cfrac{\pi}{6}+\pi n ;

Одно из решений:

\cos x=0 ;

x=\cfrac{\pi}{2}+\pi n ;

\text { Ответ: }-\cfrac{\pi}{6}+\pi n ; \cfrac{\pi}{2}+\pi n .

\sin ^2 x=3 \sin x \cdot \cos x \quad \mid: \sin ^2 x

1=3 \operatorname{ctg} x

\operatorname{ctg} x=\cfrac{1}{3}

\operatorname{tg} x=3 \\ x=\operatorname{arctg} 3+\pi n ;

Одно из решений:

\sin x=0 ;

x=\pi n ;

Ответ: \operatorname{arctg} 3+\pi n ; \pi n .

\sqrt{3} \cos ^2 x=\sin x \cdot \cos x \quad \mid: \cos ^2 x ;

\sqrt{3}=\operatorname{tg} x

x=\operatorname{arctg} \sqrt{3}+\pi n=\cfrac{\pi}{3}+\pi n \text {; }

Одно из решений:

\cos x=0 ;

x=\cfrac{\pi}{2}+\pi n ;

Ответ: \cfrac{\pi}{3}+\pi n ; \cfrac{\pi}{2}+\pi n .

\sin ^2 x+2 \sin x \cdot \cos x-3 \cos ^2 x=0 \quad \mid: \cos ^2 x

\operatorname{tg}^2 x+2 \operatorname{tg} x-3=0 ;

\text { Пусть } y=\operatorname{tg} x, \text { тогда: }

y^2+2 y-3=0 ;

D=2^2+4 \cdot 3=4+12=16 \text {, тогда: }

y_1=\cfrac{-2-4}{2}=-3 \text { и } y_2=\cfrac{-2+4}{2}=1 ;

Первое значение:

\operatorname{tg} x=-3 ;

x=-\operatorname{arctg} 3+\pi n ;

Второе значение:

\operatorname{tg} x=1 ;

x=\operatorname{arctg} 1+\pi n=\cfrac{\pi}{4}+\pi n ;

\text { ответ: }-\operatorname{arctg} 3+\pi n ; \cfrac{\pi}{4}+\pi n .

\sin ^2 x-4 \sin x \cdot \cos x+3 \cos ^2 x=0 \quad \mid: \cos ^2 x

\operatorname{tg}^2 x-4 \operatorname{tg} x+3=0 ;

\text { Пусть } y=\operatorname{tg} x \text {, тогда: }

y^2-4 y+3=0 ;

D=4^2-4 \cdot 3=16-12=4 \text {, тогда: }

y_1=\cfrac{4-2}{2}=1 \text { и } y_2=\cfrac{4+2}{2}=3 ;

Первое значение:

\operatorname{tg} x=1 ;

x=\operatorname{arctg} 1+\pi n=\cfrac{\pi}{4}+\pi n ;

Второе значение:

\operatorname{tg} x=3 ;

x=\operatorname{arctg} 3+\pi n ;

\text { Ответ: } \cfrac{\pi}{4}+\pi n ; \operatorname{arctg} 3+\pi n .

\sin ^2 x+\sin x \cdot \cos x-2 \cos ^2 x=0 \quad \mid: \cos ^2 x

\operatorname{tg}^2 x+\operatorname{tg} x-2=0 ;

\text { Пусть } y=\operatorname{tg} x, \text { тогда: }

y^2+y-2=0 ;

D=1^2+4 \cdot 2=1+8=9, \text { тогда: }

y_1=\cfrac{-1-3}{2}=-2 \text { и } y_2=\cfrac{-1+3}{2}=1 ;

Первое значение: \operatorname{tg} x=-2 ;

x=-\operatorname{arctg} 2+\pi n \text {; }

Второе значение:

\operatorname{tg} x=1 \text {; }

x=\operatorname{arctg} 1+\pi n=\cfrac{\pi}{4}+\pi n \text {; }

Ответ: -\operatorname{arctg} 2+\pi n ; \cfrac{\pi}{4}+\pi n .

3 \sin ^2 x+\sin x \cdot \cos x-2 \cos ^2 x=0 \quad \mid: \cos ^2 x

3 \operatorname{tg}^2 x+\operatorname{tg} x-2=0 ;

\text { Пусть } y=\operatorname{tg} x, \text { тогда: }

3 y^2+y-2=0 ;

D=1^2+4 \cdot 3 \cdot 2=1+24=25 \text {, тогда: }

y_1=\cfrac{-1-5}{2 \cdot 3}=-\cfrac{6}{6}=-1 ;

y_2=\cfrac{-1+5}{2 \cdot 3}=\cfrac{4}{6}=\cfrac{2}{3}

Первое значение:
\operatorname{tg} x=-1 \text {; }

x=-\operatorname{arctg} 1+\pi n=-\cfrac{\pi}{4}+\pi n ;

Второе значение:
\operatorname{tg} x=\cfrac{2}{3}

x=\operatorname{arctg} \cfrac{2}{3}+\pi n ;

Ответ: -\cfrac{\pi}{4}+\pi n ; \operatorname{arctg} \cfrac{2}{3}+\pi n .