Арккосинус и решение уравнения cos x = a

Введение

Арккосинус — это важная обратная тригонометрическая функция, которая используется для нахождения угла по известному значению косинуса. Косинус играет ключевую роль в геометрии, физике и других областях, а его обратная функция, арккосинус, помогает решать уравнения вида \cos x = a . В этой статье мы подробно рассмотрим, что такое арккосинус, его свойства и как решать уравнение \cos x = a с примерами.

Косинус: краткий обзор

Косинус угла x в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы. На единичной окружности косинусом угла x называют абсциссу точки на окружности, которая соответствует углу x .

Основные свойства функции косинус:

• Область определения: x \in \mathbb{R} (определён для всех действительных чисел).
• Область значений: \cos x \in [-1, 1] .
• Периодичность: Косинус — периодическая функция с периодом 2\pi , т.е. \cos(x + 2\pi) = \cos x .
• Чётность: \cos(-x) = \cos(x) (чётная функция).

График косинуса — это волнообразная кривая, которая периодически повторяется каждые 2\pi , и её максимум равен 1, а минимум — -1.

Арккосинус: определение и свойства

Арккосинус, обозначаемый как \arccos x или \cos^{-1} x , является обратной функцией для косинуса. Это означает, что если y = \cos x , то x = \arccos y .

Область определения и значения:

• Область определения функции арккосинус: x \in [-1, 1] , так как косинус может принимать только значения в этом диапазоне.
• Область значений функции арккосинус: \arccos x \in [0, \pi] . Это значит, что арккосинус возвращает угол в пределах от 0 до \pi радиан.

Свойства функции арккосинус:

1. Область определения: x \in [-1, 1] .
2. Область значений: \arccos x \in [0, \pi] .
3. Чётность: Функция арккосинус не является чётной или нечётной, но косинус как обратимая функция чётная: \cos x = \cos(-x) .
4. Дифференцируемость: Производная арккосинуса равна \cfrac{-1}{\sqrt{1 - x^2}} , где |x| lt; 1 .

Арккосинус даёт основной угол, который лежит в пределах от 0 до \pi , соответствующий заданному значению косинуса.

Решение уравнения \cos x = a

Рассмотрим уравнение вида:

\cos x = a,

где a \in [-1, 1] . Для решения этого уравнения используется функция арккосинус, которая даёт основной угол, удовлетворяющий данному уравнению.

Основной корень

Основной корень уравнения \cos x = a записывается как:

x_0 = \arccos a.

Но поскольку косинус — это периодическая функция с периодом 2\pi , общее решение уравнения будет учитывать все возможные значения x .

Общее решение

Функция косинус симметрична относительно оси y , поэтому для любого значения \cos x = a , существует два решения на интервале [0, 2\pi] :

x_1 = \arccos a \quad \text{и} \quad x_2 = 2\pi - \arccos a.

С учётом периодичности функции косинус общее решение записывается следующим образом:

x = \arccos a + 2n\pi \quad \text{или} \quad x = 2\pi - \arccos a + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}.

Пример 1: Решение уравнения \cos x = \cfrac{1}{2}

Найдем решение уравнения \cos x = \cfrac{1}{2} .

1. Основной корень:

x\_0 = \arccos \cfrac{1}{2} = \cfrac{\pi}{3}.

2. Второй корень:

x\_1 = 2\pi - \cfrac{\pi}{3} = \cfrac{5\pi}{3}.

Таким образом, общее решение:

x = \cfrac{\pi}{3} + 2n\pi \quad \text{или} \quad x = \cfrac{5\pi}{3} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}.

Пример 2: Решение уравнения \cos x = -\cfrac{\sqrt{2}}{2}

Найдем решение уравнения \cos x = -\cfrac{\sqrt{2}}{2} .

1. Основной корень:

x\_0 = \arccos \Big(-\cfrac{\sqrt{2}}{2}\Big) = \cfrac{3\pi}{4}.

2. Второй корень:

x\_1 = 2\pi - \cfrac{3\pi}{4} = \cfrac{5\pi}{4}.

Таким образом, общее решение:

x = \cfrac{3\pi}{4} + 2n\pi \quad \text{или} \quad x = \cfrac{5\pi}{4} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}.

Решение уравнения в заданном интервале

В некоторых случаях требуется найти решения уравнения на заданном интервале, например, x \in [0, 2\pi] . В таких случаях мы ищем только те значения x , которые попадают в этот интервал.

Пример 3: Решение уравнения \cos x = 0.6 на интервале [0, 2\pi]

1. Основной корень:

x\_0 = \arccos 0.6 \approx 0.927.

2. Второй корень:

x\_1 = 2\pi - 0.927 \approx 5.356.

Проверяем, попадают ли эти значения в интервал [0, 2\pi] :

• x_0 \approx 0.927 \in [0, 2\pi] ,
• x_1 \approx 5.356 \in [0, 2\pi] .

Таким образом, решения на интервале [0, 2\pi] будут:

x \approx 0.927 , \text{и} , x \approx 5.356.

Заключение

Арккосинус — это обратная функция для косинуса, которая позволяет найти угол по известному значению косинуса. Для решения уравнения \cos x = a мы находим основной корень с помощью функции арккосинус и учитываем периодичность функции косинус, чтобы получить общее решение. Общее решение включает два выражения: одно связано с арккосинусом, а другое — с симметричным углом относительно 2\pi . Решение на заданном интервале требует нахождения тех значений, которые попадают в этот интервал.

Арккосинус является мощным инструментом для решения различных математических задач, связанных с тригонометрией и угловыми вычислениями.

Вычислить

\arccos \Big(-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)=t

t=\pi-\arccos \Big(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)=

\pi- \cfrac{\pi}{6}=\cfrac{5\pi}{6} 2{n}3{n}

\arccos 1=t .

\cos t=1

Значит, t=0 \cfrac{\pi}{6}{n} \cfrac{\pi}{3}{n}

Найти

\arccos \cfrac{\sqrt{3}}{2}

Пусть

\arccos \cfrac{\sqrt{3}}{2}=t .
Тогда

\cos t=\cfrac{\sqrt{3}}{2} .
Значит,

t=\cfrac{\pi}{6} 3{n} 4{n}

Решите уравнение

\cos t=\cfrac{\sqrt{2}}{2}

Составим формулу решений:

t= \pm \arccos \cfrac{\sqrt{2}}{2}+2 \pi k

Вычислим значение арккосинуса:

\arccos \cfrac{\sqrt{2}}{2}=\cfrac{\pi}{4}

Подставим найденное значение в формулу решений:

t= \pm \cfrac{\pi}{4}+2 \pi k 2{n}3{n}

Вычислить

\arccos \Big(-\cfrac{1}{2}\Big)=

\pi-\arccos \Big(\cfrac{1}{2}\Big)=

\pi-\cfrac{\pi}{3}=\cfrac{2\pi}{3}

\arccos \cfrac{1}{2}

Пусть

\arccos \cfrac{1}{2}=t .

Тогда

\cos t=\cfrac{1}{2} и t \in[0 ; \pi]

Значит,

t=\cfrac{\pi}{3} \cfrac{\pi}{4}{n} \cfrac{\pi}{2}{n}

\cos t=1

Составим формулу решений:

t= \pm \arccos 1+2 \pi k

Вычислим значение арккосинуса:

\arccos 1=0 \pi{n}\cfrac{\pi}{2}{n}

Подставим найденное значение в формулу решений:

t=2 \pi k

Решить уравнение

\cos t=\cfrac{\sqrt{3}}{2}

Составим формулу решений:

t= \pm \arccos \cfrac{\sqrt{3}}{2}+2 \pi k

Вычислим значение арккосинуса:

\arccos \cfrac{\sqrt{3}}{2}=\cfrac{\pi}{6}

Подставим найденное значение в формулу решений

t= \pm \cfrac{\pi}{6}+2 \pi k \quad 3{n}4{n}

\cos t=-1
Составим формулу решений:

t= \pm \arccos (-1)+2 \pi k

Вычислим значение арккосинуса:

\arccos (-1)=\pi

Подставим найденное значение в формулу решений:

t = \pm \pi+2 \pi k 2\pi{n}\cfrac{\pi}{2}{n}0{n}

Решить уравнение

\cos t=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}

Составим формулу решений:

t= \pm \arccos \Big(-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)+2 \pi k

Вычислим значение арккосинуса:

\arccos \Big(-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)=\pi-\arccos \Big(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)=\cfrac{5 \pi}{6}

Подставим найденное значение в формулу решений:

t= \pm \cfrac{5 \pi}{6}+2 \pi k

\cos t=-\cfrac{\sqrt{2}}{2}

Составим формулу решений:

t= \pm \arccos \Big(-\cfrac{\sqrt{2}}{2}\Big)+\underset{}{2 \pi k}

Вычислим значение арккосинуса:

\arccos \Big(-\cfrac{\sqrt{2}}{2}\Big)=\\ \pi-\arccos \Big(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\Big)=\\ \pi-\cfrac{\pi}{4}=\cfrac{3 \pi}{4}

Подставим найденное значение в формулу решений:

t= \pm \cfrac{3 \pi}{4}+2 \pi k