Обобщение понятия о показателе степени

Мы уже научились вычислять значения степени с целочисленным показателем, следуя ряду определений:

1. Если n = 1 , то a^1 = a .
2. Если n = 0 и a \neq 0 , то a^0 = 1 .
3. Если n = 2, 3, 4, 5, \ldots , то a^n = a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a (где n множителей).
4. Если n = 1, 2, 3, 4, \ldots и a \neq 0 , то a^{-n} = \cfrac{1}{a^n} .

Теперь мы расширим понятие степени, чтобы охватить случаи, когда показатель степени является дробным числом, например, 2^{\cfrac{3}{5}} , 3^{-0.3} и т. д. Для этого следует определить, какой математический смысл придавать таким выражениям.

Степень с дробным показателем

Математики стремились, чтобы при введении дробных показателей сохранялись основные свойства степеней, такие как возведение степени в степень с умножением показателей. Рассмотрим пример:

\Big(2^{\frac{3}{5}}\Big)^5 = 2^3.

Пусть a = 2^{\frac{3}{5}} , тогда уравнение можно записать как a^5 = 2^3 , откуда следует, что a = \sqrt[5]{2^3} . Это позволяет определить степень с дробным показателем через корень. Таким образом, вводится следующее определение.

Определение 1. Если \cfrac{p}{q} — обыкновенная дробь ( q \neq 1 ) и a \geqslant 0 , то под a^{\frac{p}{q}} понимают \sqrt[q]{a^p} :

a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}, \quad a \geqslant 0.

Примеры:

• 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} ,
• 7^{\frac{5}{4}} = \sqrt[4]{7^5} .

Это определение удачно, так как сохраняет все привычные свойства степеней: сложение и вычитание показателей при умножении и делении степеней с одинаковыми основаниями, возведение степени в степень и т. д.

Применение свойств степеней с дробными показателями

Рассмотрим пример умножения степеней с дробными показателями:

a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}}.

Используя определение корней, имеем:

a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}, \quad a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}.

Тогда произведение будет:

\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a} = \sqrt[6]{a^3} \cdot \sqrt[6]{a^2} = \sqrt[6]{a^5} = a^{\frac{5}{6}}.

Это доказывает, что:

a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{5}{6}},

а сумма дробных показателей подтверждает это:

\cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{3} = \cfrac{5}{6}.

Сложение дробей легче, чем использование радикалов, поэтому на практике дробные показатели предпочтительнее для работы с корнями.

Примеры решения уравнений с дробными степенями

Пример 1. Вычислим:

1. 64^{\frac{1}{6}} — это \sqrt[6]{64} = 2 .
2. 27^{\frac{2}{3}} — это \sqrt[3]{27^2} = 9 .
3. 0^{\frac{51}{4}} = 0 .
4. Выражение (-8)^{\frac{1}{3}} не имеет смысла, так как возведение отрицательных чисел в дробные степени не определено.

Степень с отрицательным дробным показателем

Для того чтобы расширить понятие степени и на отрицательные дробные показатели, введем следующее определение.

Определение 2. Если \cfrac{p}{q} — обыкновенная дробь ( q \neq 1 ) и a \gt; 0 , то:

a^{-\frac{p}{q}} = \cfrac{1}{a^{\frac{p}{q}}}.

Пример:

3^{-\frac{1}{2}} = \cfrac{1}{\sqrt{3}}, \quad 7^{-\frac{5}{4}} = \cfrac{1}{\sqrt[4]{7^5}}.

Таким образом, теперь мы можем работать с любыми рациональными показателями, сохраняя привычные свойства степеней:

1. a^s \cdot a^t = a^{s+t} ,
2. a^s : a^t = a^{s-t} ,
3. \Big(a^s\Big)^t = a^{st} ,
4. (ab)^s = a^s \cdot b^s ,
5. \Big(\cfrac{a}{b}\Big)^s = \cfrac{a^s}{b^s} .

Примеры решения уравнений

Пример 2. Упростим выражение:

\Big(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}\Big)^2 - 2 \sqrt[3]{xy} - \cfrac{1}{(\sqrt[3]{y})^{-2}}.

Решение:

1. \Big(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}\Big)^2 = x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}} .
2. \sqrt[3]{xy} = x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} .
3. \cfrac{1}{(\sqrt[3]{y})^{-2}} = y^{\frac{2}{3}} .

Окончательный результат: x^{\frac{2}{3}} .

Решение иррациональных уравнений

Пример 3. Решим уравнение:

x^{-\frac{2}{3}} - 2x^{-\frac{1}{3}} - 8 = 0.

Введем замену y = x^{-\frac{1}{3}} , тогда уравнение примет вид:

y^2 - 2y - 8 = 0,

что даёт y_1 = -2 и y_2 = 4 . Первое уравнение не имеет решений, так как x \gt 0 , а из второго находим x = \cfrac{1}{64} .

\sqrt[8]{x^{3}} \cdot \sqrt[12]{x^{11}}=

x^{\frac{3}{8}} \cdot x^{\frac{11}{12}}=

x^{\frac{3}{8}+\frac{11}{12}}=

x^{\frac{31}{24}}=\sqrt[24]{x^{31}}

\left(\cfrac{2}{3}\right)^{-2/5} =

\left(\cfrac{3}{2}\right)^{2/5} =

\sqrt[5]{\left(\cfrac{3}{2}\right)^{2}} =

\sqrt[5]{\cfrac{9}{4}}

\left(\cfrac{1}{2}\right)^{3/4} = \sqrt[4]{\left(\cfrac{1}{2}\right)^{3}} =

\sqrt[4]{\cfrac{1}{8}} = \cfrac{1}{\sqrt[4]{8}}

a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{6}}=a^{\frac{2}{3}-\frac{ 1 }{6}}=

a ^{\frac{3}{ 6 }}=a^{\frac{ 1 }{ 2 }}=\sqrt{ a }

d^5 \cdot d^{\frac{1}{2}}=d^{ 5 +\frac{1}{ 2 }}=d^{\frac{ 11 }{2}}=\sqrt{ d ^{11}}