Тест по теме: Логарифмические неравенства

Логарифмическими неравенствами называют неравенства вида

\log_{a} f(x) \gt \log_{a} g(x) ,

Для решения неравенства, где, разумеется, следует считать, что f(x) \gt 0 и g(x) \gt 0 , преобразуем его к виду

\log _{a} f(x) - \log _{a} g(x) \gt 0

Теорема. Если f(x) \gt 0 и g(\boldsymbol{x}) \gt 0 , то: при a \gt 1 логарифмическое неравенство \log _{a} f(x) \gt \log _{a} g(x) равносильно неравенству того же смысла:

f(x) \gt g(x) ;

при 0 \lt a \lt 1 логарифмическое неравенство \log _{a} f(x) \gt \log _{a} g(x) равносильно неравенству противоположного смысла:

f(x) \lt {g}({x}) .

На практике эту теорему применяют так: при a \gt 1 переходят от неравенства \log _{a} f(x) \gt \log _{a} g(x) к равносильной ему системе неравенств \left\{\begin{array}{l} f(x) \gt 0 \\ g(x) \gt 0 \\ f(x) \gt g(x)\lt{n} \end{array}\right.

\log _{3}(2 x-4)\gt \log _{3}(14-x)

\left\{\begin{array}{l} 2 x-4 \gt 0 \\ 14-x\gt 0 \\ 2 x-4\gt14-x \end{array}\right. \\{}\\ \left\{\begin{array}{l} x \gt 2 \\ x \lt 14 \\ x\gt 6 \end{array}\right.

при 0\gt a \gt 1 - к равносильной неравенству \log _{a} f(x) \gt \log _{a} g(x)

системе неравенств

\left\{\begin{array}{l} f(x)\gt 0 \\ g(x)\gt 0 \\ f(x) \lt g(x) \end{array}\right.

\log _{\frac{1}{3}}(2 x-4)\gt \log _{\frac{1}{3}}(14-x)

\left\{\begin{array}{l} 2 x-4\gt 0 \\ 14-x\gt 0 \\ 2 x-4 \lt 14-x \end{array}\right. \\{}\\ \left\{\begin{array}{l} x \gt 2 \\ x \lt 14 \\ x\lt 6 \end{array}\right.

\log _2 x \geq 4 ; \\ \log _2 x \geq \log _2 {2}^{4} \text {; } \\ x \geq 16

\log _2 x \leq-3 ; \\ \log _2 x \leq \log _2 {2}^{-3} ; \\ 0 \lt x \leq \cfrac{1}{8}

\log _2 x \lt \cfrac{1}{2} ; \\ \log _2 x \lt \log _2 {2}^{\frac{1}{2}} ; \\ 0 \lt x \lt \sqrt{2} ;

\log _2 x \gt -\cfrac{1}{2} \\ \log _2 x \gt \log _2 2^{-\frac{1}{2}} ; \\ x \gt \cfrac{1}{\sqrt{2}} ;

\log _{\frac{1}{3}} x \leq 2 \\ \log _{\frac{1}{3}} x \leq \log _{\frac{1}{3}}\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^{2} \\ x \geq \cfrac{1}{9}

\log _{\frac{1}{2}} x \geq-3 \\ \log _{\frac{1}{2}} x \geq \log _{\frac{1}{2}}\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^{-3} \\ 0 \lt x \leq 8

\log _{0,2} x \lt 3 \\ \log _{0,2} x \lt \log _{0,2}(0,2)^{3} ; \\ x \gt 0,008 ;

\log _{0,1} x \gt -\cfrac{1}{2}\\ \log _{0,1} x \gt \log _{0,1}(0,1)^{-\frac{1}{2}} \\ 0 \lt x \lt \sqrt{10}

\log _5(3 x+1) \lt 2 \\ \log _5(3 x+1) \lt \log _5 {5}^{2} \\ 0 \lt 3 x+1 \lt 25 \\ -1 \lt 3 x \lt 24 \\ -\cfrac{1}{3} \lt x \lt 8

\log _{0,5} \cfrac{x}{3} \geq-2 \\ \log _{\frac{1}{2}} \cfrac{x}{3} \geq \log _{\frac{1}{2}}\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^{-2} ; \\ 0 \lt \cfrac{x}{3} \leq 4 ; \\ 0 \lt x \leq 12

\log _{\frac{1}{4}} \cfrac{x}{5} \gt 1 ; \\ \log _{\frac{1}{4}} \cfrac{x}{5} \gt \log _{\frac{1}{4}} \cfrac{1}{4} \\ 0 \lt \cfrac{x}{5} \lt \cfrac{1}{4} \\

\log _{\sqrt{3}}(2 x-3) \lt 4 \\ \log _{\sqrt{3}}(2 x-3) \lt \log _{\sqrt{3}}(\sqrt{3})^{4} \\ 0 \lt 2 x-3 \lt 9 \\ 3 \lt 2 x \lt 12 \\ 1,5 \lt x \lt 6