Топ-100 Арккотангенс тест

Тест по теме: Арккотангенс



Теория:



Арккотангенс и решение уравнения ctg x = a

Введение

Арккотангенс — это обратная функция для котангенса, которая играет важную роль в тригонометрии и позволяет находить угол по известному значению котангенса. В данной статье мы рассмотрим, что такое арккотангенс, его свойства и как решать уравнения вида \text{ctg} x = a , сопровождая теорию практическими примерами.

Арккотангенс: определение и свойства

Арккотангенс, обозначаемый как \operatorname{arcctg}(x) или \text{ctg}^{-1}(x) , — это обратная функция для котангенса. Если y = \text{ctg} x , то x = \operatorname{arcctg}(y) .

Область определения и значения:

  • Область определения функции арккотангенс: x \in \mathbb{R} (котангенс может принимать любые действительные значения).
  • Область значений функции арккотангенс: \operatorname{arcctg}(x) \in (0, \pi) . Это значит, что арккотангенс возвращает угол в пределах от 0 до \pi радиан (или от 0° до 180°).

Свойства функции арккотангенс:

  1. Область определения: x \in \mathbb{R} .
  2. Область значений: \operatorname{arcctg}(x) \in (0, \pi) .
  3. Четность: Арккотангенс является нечётной функцией, то есть \operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg}(x) .
  4. Дифференцируемость: Производная арккотангенса равна \cfrac{-1}{1 + x^2} .

Арккотангенс возвращает основной угол, который лежит в диапазоне от 0 до \pi , соответствующий заданному значению котангенса.

Решение уравнения \text{ctg} x = a

Для решения уравнения вида:

\text{ctg} x = a,

где a \in \mathbb{R} , используется функция арккотангенс, которая даёт основной угол, соответствующий данному значению котангенса.

Основной корень

Основной корень уравнения \text{ctg} x = a находится с помощью арккотангенса:

x_0 = \operatorname{arcctg}(a).

Так как котангенс — периодическая функция с периодом \pi , то общее решение уравнения учитывает периодичность:

x = \operatorname{arcctg}(a) + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}.

Пример 1: Решение уравнения \text{ctg} x = 1

Найдем решение уравнения \text{ctg} x = 1 .

  1. Основной корень:

x_0 = \operatorname{arcctg}(1) = \cfrac{\pi}{4}.

  1. Общее решение с учётом периодичности котангенса:

x = \cfrac{\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}.

Таким образом, решение уравнения \text{ctg} x = 1 имеет вид:

x = \cfrac{\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}.

Пример 2: Решение уравнения \text{ctg} x = -\sqrt{3}

Найдем решение уравнения \text{ctg} x = -\sqrt{3} .

  1. Основной корень:

x_0 = \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) = \cfrac{5\pi}{6}.

  1. Общее решение с учётом периодичности:

x = \cfrac{5\pi}{6} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}.

Таким образом, решение уравнения \text{ctg} x = -\sqrt{3} имеет вид:

x = \cfrac{5\pi}{6} + n\pi, \quad n \in \mathbb{З}.

Решение уравнения на заданном интервале

В некоторых случаях требуется найти решение уравнения на заданном интервале, например, x \in [0, 2\pi] . В таких случаях мы ищем только те значения x , которые попадают в этот интервал.

Пример 3: Решение уравнения \text{ctg} x = 2 на интервале [0, 2\pi]

Найдем решение уравнения \text{ctg} x = 2 на интервале [0, 2\pi] .

  1. Основной корень:

x_0 = \operatorname{arcctg}(2) \approx 0.464.

  1. Следующий корень с учётом периодичности:

x_1 = 0.464 + \pi \approx 3.605.

Так как мы ищем решения в пределах [0, 2\pi] , оба этих значения попадают в указанный интервал:

x_0 \approx 0.464 \quad \text{и} \quad x_1 \approx 3.605.

Таким образом, решения на интервале [0, 2\pi] будут:

x \approx 0.464 \quad \text{и} \quad x \approx 3.605.

Определение


\text{arcctg} a — это такое число из интервала 0;\pi, котангенс которого равен a -\cfrac{\pi}{2};\cfrac{\pi}{2}{n} \tg a{n}

Решение уравнения ctg х = а


Решение уравнения

\text{ctg} x = a

имеет вид

x=\text{arcctg} a + \pi k, k \in Z 2\pi k{n}

Вычислите


Пусть \operatorname{arcctg} \cfrac{\sqrt{3}}{3}=t ,

тогда:

\operatorname{ctg} t=\cfrac{\sqrt{3}}{3}

Ответ: t=\cfrac{\pi}{3} 2{n} 4{n} 6{n}

Вычислите


Пусть

\operatorname{arcctg} 1=t , тогда:

\operatorname{ctg} t=1

t=\cfrac{\pi}{4} 2{n}3{n}

Вычислите


Пусть \operatorname{arcctg}\Big(-\cfrac{\sqrt{3}}{3}\Big)=t ,

тогда:

\operatorname{ctg} t=-\cfrac{\sqrt{3}}{3}

Ответ: t=\cfrac{2 \pi}{3}

Вычислите


Пусть \operatorname{arcctg} 0=t , тогда:

\operatorname{ctg} t=0

Ответ: t=\cfrac{\pi}{2}

Решите уравнение


\operatorname{ctg} x=1

x=\operatorname{arcctg} 1+\pi n=\cfrac{\pi}{4}+\pi n \text {; }

Решите уравнение


\operatorname{ctg} x=-\sqrt{3} ;

x=\operatorname{arcctg} (-\sqrt{3})=

\pi-\operatorname{arcctg} \sqrt{3}+\pi n=

\pi-\cfrac{\pi}{6}=\cfrac{5 \pi}{6}+\pi n ;

Ответ: \cfrac{5 \pi}{6}+\pi n

Решите уравнение


\operatorname{ctg} x=0 ;
x=\operatorname{arcctg} 0+\pi n=\cfrac{\pi}{2}+\pi n ;

Решите уравнение


\operatorname{ctg} x=-\cfrac{\sqrt{3}}{3}

x=\pi-\operatorname{arcctg} \cfrac{\sqrt{3}}{3}+\pi n=

\cfrac{2 \pi}{3}+\pi n \text {; }


Тестовые вопросы и практика:


Перейти в раздел Математика