Теорема. Если a, b, c - положительные числа, причем a и c отличны от 1 , то имеет место равенство
\log _a b=\cfrac{\log _c b}{\log _c a}
Следствие 1. Если а и b положительные и отличные от 1 числа, то справедливо равенство
\log _a b=\cfrac{1}{\log _b a} .
\log _2 3=\cfrac{1}{\log _3 2}
\lg 5=\cfrac{1}{\log _5 10}
Дано:
\lg 3=a, \lg 5=b .
Вычислить
\log _2 15
\log _2 15=\cfrac{\lg 15}{\lg 2}=
\cfrac{\lg (3 \cdot 5)}{\lg (: 5)}=
\cfrac{\lg 3+\lg 5}{\lg 10-\lg 5}=
\cfrac{a+b}{1-b}
Перейдите к десятичному основанию
\log _7 4=\cfrac{\lg 4}{\lg 7}
Перейдите к основанию 5
\log _2 3=\cfrac{\log _5 3}{\log _5 2}
\log _2 \cfrac{1}{3}+\log _4 9=
\log _2 3^{-1}+\log _{2^{2}} 3^{2}=-\log _2 3+\log _2 3=0 ;
\log _{\sqrt{3}} 3 \sqrt{2}+\log _3 \cfrac{1}{2}=
\log _{(\sqrt{3})^{2}}(3 \sqrt{2})^{2}+\log _3 \cfrac{1}{2}=
\log _{3} 18+\log _3 \cfrac{1}{2}=
\log _3\Big(18 \cdot \cfrac{1}{2}\Big)=
\log _3 9=\log _3 3^{2}=2 ;
\log _{25} 9-\log _5 3=
\log _{5^{2}} 3^{2}-\log _{5} {3}=
\log _{5} {3}-\log _5 3=0;
\log _{16} 4-\log _4 8=
\log _{4^{2}} 2^{2}-\log _4 8=
\log _4 2-\log _4 8=\log _4 \cfrac{2}{8}=
\log _4 \cfrac{1}{4}=
\log _4 4^{-1}=-1
a=\log _2 3
\log _3 2=
\cfrac{1}{\log _{2} 3}=\cfrac{1}{a} ;
\log _3 \cfrac{1}{2}=\log _3 2^{-1}=
-\log _3 2=
-\cfrac{1}{\log _{2} 3}=-\cfrac{1}{a}
\log _3 4=\log _3 2^{2}=
2 \log _3 2=
2 \cdot \cfrac{1}{\log _{2} 3}=\cfrac{2}{a} ;
\log _3 \cfrac{1}{4}=
\log _3 2^{-2}=-2 \log _3 2=
-2 \cdot \cfrac{1}{\log _{2} 3}=-\cfrac{2}{a} .
9^{\log _3 4}+\log _{\sqrt{6}} 3 \cdot \log _3 36=
9^{\log _{3^2}4^2}+\cfrac{\log _{3} 36}{\log _{3} \sqrt{6}}=
9^{\log _9 16}+\log _{\sqrt{6}} 36=
16+\log _{\sqrt{6}}(\sqrt{6})^{4}=16+4=20
\log _3 8 \cdot \log _2 27-3^{\log _9 25}=
\log _3 2^{3} \cdot \log _2 3^{3}-3^{\log _{9^ {0.5}}25^{0.5}}=
=3 \cdot 3 \cdot \log _3 2 \cdot \log _2 3-3^{\log _3 5}=
9 \cdot \cfrac{\log _3 2}{\log _{3} {2}}-5=9-5=4
3^{4 \log _3 2}+\log _5 \sqrt{2} \cdot \log _4 25=
3^{\log _3 2^{4}}+\log _5 4^{\frac{1}{4}} \cdot \log _4 5^{2}=
3^{\log _3 16}+\cfrac{1}{4} \cdot 2 \cdot \log _5 4 \cdot \log _4 5=
16+0,5 \cdot \cfrac{\log _5 4}{\log _{5} 4}=16+0,5=16,5 \\
10^{0,5 \lg 1} + 14 \log _3 \sqrt{2} \cdot \log _4 81=
10^{\lg 16^{0.5}}+14 \log _3 4^{\frac{1}{4}} \cdot \log _4 3^{4}=
10^{\lg 4}+14 \cdot \cfrac{1}{4} 4 \cdot \log _3 4 \cdot \log _4 3=
4+14 \cdot \cfrac{\log _3 4}{\log _{3} 4}=4+14=18