Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида
\log_{ a }f( x )=\log_{ a }g( x )
Решите уравнение \log_{3}\,(x^{2}-\,3x-5)=\log_{3}\,(7-\,2x).
x^{2}-3x-5= 7-2x
x^{2}- x - 12 =0
x_{1}= 4 ,\ x_{2}= -3
Решите уравнение \log_{2}\left(x+4\right)+\log_{2}\left(2x+3\right)=\log_{2}\left(1-2x\right)
\log_{2}\,(x+4)( 2x+3 )=\log_{2}\,( 1-2x )
{{( x+4 )(2x+3)=1-2x;}}
{{2x^{2}+8x+3x+12=1-2x;}}
{{2x^{2}+13x+11=0;}}
{{x_{1}=-1,\;x_{2}=-5.}}
Решите уравнение \log_{3}(x^{2}+6)=\log_{3}5x
{{x^{2}+6=5x;}}
{{x^{2}-5x+6=0;}}
{{D=5^{2}-4\cdot6=25-24=1}}
{{x_{1}={\cfrac{5-1}{2}}=2\;x_{2}={\cfrac{5+1}{2}}=3;}}
Решите уравнение \log_{0,1}(x^{2}+4x-20)=0
\log_{0,1}(x^{2}+4x-20)=\log_{0,1}1
{{x^{2}+4x-20= 1 ;}}\\ {{x^{2}+4x-21= 0 ;}}
{{D= 4 ^{2}+4\cdot 21 =16+84=100,}}
{{x_{1}={\cfrac{-4-10}{2}}=-7\ \;\ x_{2}={\cfrac{-4+10}{2}}=3;}}
Решите уравнение \log_{2}^{2}x-4\log_{2}x+3=0;
y= \log_{2}x
y^{2} -4 y +3=0
D= 4^{2} -4\cdot 3 =16-12=4
y_{1}={\cfrac{4-2}{2}}=1
y_{2}={\cfrac{4+2}{2}}=3
{{\log_{2}x=1;}}
{{x=2^{1}= 2 ;}}
{{\log_{2}x=3;}}
{{x=2^{ 3 }= 8 ;}}
\log _3\Big(x^2-11 x+27\Big)=2 ;
x^2-11 x+27=3^{2} ;
x^2-11 x+27=9 ;
x^2-11 x+18=0 ;
D=11^2-4 \cdot 18=121-72=49, \text { тогда: }
x_1=\cfrac{11-7}{2}=2 \text { и } x_2=\cfrac{11+7}{2}=9 ;
\log _{\frac{1}{7}}\Big(x^2+x-5\Big)=-1 ;
x^2+x-5=\Big(\cfrac{1}{7} \Big)^{(-1) } ;
x^2+x-5=7 ;
x^2+x-12=0 ;
D=1^2+4 \cdot 12=1+48=49, \text { тогда: }
x_1=\cfrac{-1-7}{2}=-4 \text { и } x_2=\cfrac{-1+7}{2}=3 ;
\log _2\Big(x^2-3 x-10\Big)=3 ;
x^2-3 x-10=2^{3} ;
x^2-3 x-10=8 ;
x^2-3 x-18=0 ;
D=3^2+4 \cdot 18=9+72=81, \text { тогда: }
x_1=\cfrac{3-9}{2}=-3 \text { и } x_2=\cfrac{3+9}{2}=6 ;
\log _{\frac{1}{3}}\Big(x^2+3 x-1\Big)=-2
x^2+3 x-1= \Big(\cfrac{1}{3}\Big)^{(-2)}
x^2+3 x-1=9
x^2+3 x-10=0
D=3^2+4 \cdot 10=9+40=49 \text {, тогда: }
x_1=\cfrac{-3-7}{2}=-5 \text { и } x_2=\cfrac{-3+7}{2}=2 ;
\log _2 x=\log _2 3+\log _2 5
\log _2 x=\log _2(3 \cdot 5)
x=15
\log _7 4=\log _7 x-\log _7 9
\log _7 4=\log _7 \cfrac{x}{9}
4=\cfrac{x}{9}
x=36
\log _{\frac{1}{3}} 4+\log _{\frac{1}{3}} x=\log _{\frac{1}{3}} 18 ;
\log _{\frac{1}{3}} 4 x=\log _{\frac{1}{3}} 18
4 x=18
x=4,5
\log _{0,4} 9-\log _{0,4} x=\log _{0,4} 3
\log _{0,4} \cfrac{9}{x}=\log _{0,4} 3
\cfrac{9}{x}=3
x=3
2 \log _8 x=\log _8 2,5+\log _8 10
\log _8 x^{2}=\log _8(2,5 \cdot 10)
x^2=25
x=\sqrt{25}=5
Ответ: 5.
3 \log _2 \cfrac{1}{2}-\log _2 \cfrac{1}{32}=\log _2 x
\log _2\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^{3}-\log _2 \cfrac{1}{32}=\log _2 x
\log _2\Big(\cfrac{1}{8}: \cfrac{1}{32}\Big)=\log _2 x
x=\cfrac{32}{8}=4 .
3 \log _{\frac{1}{7}} x=\log _{\frac{1}{7}} 9+\log _{\frac{1}{7}} 3
\log _{\frac{1}{7}} x^{3}=\log _{\frac{1}{7}}(9 \cdot 3)
x^3=27
x=\sqrt[3]{27}=3 .
4 \log _{0,1} x=\log _{0,1} 2+\log _{0,1} 8
\log _{0,1} x^{4}=\log _{0,1}(2 \cdot 8)
x^4=16
x=\sqrt[4]{16}=2