Топ-100 Производная тест

Тест по теме: Производная



Теория:



1\. Задачи, приводящие к понятию производной

Часто в разных задачах, на первый взгляд далеких друг от друга, мы приходим к схожим математическим моделям. Это является одной из сильных сторон математики: разработанные методы для одной модели могут применяться в самых разных областях знаний. Вы уже умеете работать с различными математическими моделями, такими как уравнения, неравенства и системы уравнений. В данном параграфе будет рассмотрена новая для вас математическая модель. Рассмотрим две задачи: одну из физики и одну из геометрии. Процесс их решения приведет нас к новой математической модели.

Задача 1 (о скорости движения)

Тело движется вдоль прямой, на которой задано начало отсчета и направление. Закон движения тела описывается функцией s = s(t) , где t — время в секундах, а s(t) — положение тела на прямой в момент времени t . Требуется найти скорость движения тела в момент времени t .

Решение
Пусть в момент времени t тело находится в точке M , его координата O M = s(t) . Придадим времени t приращение \Delta t и рассмотрим положение тела через t + \Delta t . В этот момент координата тела станет O P = s(t + \Delta t) .

MP = s(t + \Delta t) - s(t) = \Delta s

Средняя скорость тела за интервал времени [t, t + \Delta t] выражается формулой:

v_{\text{ср}} = \cfrac{\Delta s}{\Delta t} \ (\text{м/с})

Теперь определим мгновенную скорость v(t) как предел средней скорости при \Delta t \to 0 :

v(t) = \lim \limits_{\Delta t \to 0} \cfrac{\Delta s}{\Delta t}


Определение касательной к кривой

Прежде чем перейти ко второй задаче, разберемся, что такое касательная к плоской кривой. В школьной программе мы уже встречались с понятием касательной, например, к параболе y = x^2 , которая касается оси x в точке x = 0 .

Чтобы формализовать понятие касательной, рассмотрим кривую L , на которой выбрана точка M . Проведем через нее секущую MP и будем приближать точку P к M . При этом секущая будет менять своё положение, и если в процессе изменения секущей получится найти её предельное положение, то эта прямая и будет касательной к кривой L в точке M .


Задача 2 (о касательной к графику функции)

Дан график функции y = f(x) . В точке M(a; f(a)) проведена касательная к графику функции. Требуется найти её угловой коэффициент.

Решение
Для этого введем приращение \Delta x и рассмотрим точку P(a + \Delta x, f(a + \Delta x)) . Угловой коэффициент секущей MP вычисляется как:

k_{\text{сек}} = \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \cfrac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}

При устремлении \Delta x к нулю секущая MP приближается к касательной, и угловой коэффициент касательной вычисляется как:

k_{\text{кас}} = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}


2\. Определение производной

Теперь, когда мы сформировали интуитивное понимание производной, дадим её формальное определение.

Определение
Пусть функция y = f(x) определена в интервале, содержащем точку x_0 . Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента при \Delta x \to 0 , то этот предел называется производной функции y = f(x) в точке x_0 и обозначается как f'(x_0) :

f'(x_0) = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}

Для обозначения производной также используют символы y' или f'(x) , обозначающие новую функцию, связанную с исходной.


Физический и геометрический смысл производной

Производная имеет несколько интерпретаций. Рассмотрим две из них:

  1. Физический смысл. В физике производная функции положения по времени s'(t) интерпретируется как мгновенная скорость движения тела в момент времени t :

v(t) = s'(t)

  1. Геометрический смысл. Угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке x = a равен значению производной в этой точке:

k = f'(a)


Алгоритм нахождения производной

Для нахождения производной функции y = f(x) можно воспользоваться следующими шагами:

  1. Найти значение функции в точке x .
  2. Рассчитать приращение функции \Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) .
  3. Составить отношение \cfrac{\Delta y}{\Delta x} .
  4. Найти предел при \Delta x \to 0 .

Пример 1. Найти производную постоянной функции y = C .

Решение:

y' = 0

Пример 2. Найти производную функции y = \cfrac{1}{x} .

Решение:

\Big( \cfrac{1}{x} \Big)' = -\cfrac{1}{x^2}


Непрерывность и дифференцируемость

Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x , то она также непрерывна в этой точке. Однако обратное утверждение неверно: не всякая непрерывная функция дифференцируема. Например, функция y = |x| непрерывна в точке x = 0 , но в этой точке её производная не существует.


Итог

Производная функции играет ключевую роль в математике и её приложениях. Она позволяет исследовать скорость изменений процессов в физике, экономике и других науках, а также даёт геометрическое представление углового коэффициента касательной к графику функции.


Тестовые вопросы и практика:


Определение


Определение производной через предел


Физический смысл


Геометрический смысл производной

Производная тест

Если к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x = a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f'(a) выражает угловой коэф­фициент касательной:

k=f'(a)=\operatorname{tg} \alpha
\operatorname{ctg} \alpha{n}

Алгоритм нахождения производной


  • Найти приращение функции

    \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)

  • Составить соотношение
    \cfrac{\Delta y}{\Delta x}

  • Вычислить предел

    \lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}

Найдите


Найдите


Найдите


Найдите


Найдите


Найдите


Найдите


Найдите


Перейти в раздел Математика