Тест по теме: Натуральный логарифм

Мы знаем, что график логарифмической функции y=\log _a x симметричен графику показательной функции y=a^x относительно прямой y=x . Значит, и график функции y=\ln x симметричен графику функции y=e^x относительно прямой y=x (рис.). Это экспонента, отличающаяся от других экспонент (графиков логарифмических функций с другими основаниями) тем, что угол между касательной к графику в точке x=1 и осью абсцисс равен 45^{\circ}

1. D(f)=(0 ;+\infty) ;
2. не является ни четной, ни нечетной;
3. возрастает на (0 ;+\infty) ;
4. не ограничена ни сверху, ни снизу;
5. не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6. непрерывна;
7. E(f)=(-\infty ;+\infty) ;
8. выпукла вверх;
9. дифференцируема.

В курсе математического анализа доказано, что для любого значения x \gt 0 справедлива формула дифференцирования

(\ln x)^{\prime}=\cfrac{1}{x}

Найти производную y=\ln (3 x+5)
Вспомним

• (f(k x+m))^{\prime}=k \cdot f^{\prime}(k x+m)
• (\ln x)^{\prime}=\cfrac{1}{x} ;

y^{\prime}=(\ln (3 x+5))^{\prime}=3 \cdot \cfrac{1}{3 x+5}=\cfrac{3}{3 x+5} ; \\

Пусть дана показательная функция y=a^x . Воспользуемся тем, что a=e^{\ln a} , и, следовательно, a^x=e^{x \ln a} . Тогда

\Big(a^x\Big)^{\prime}=\Big(e^{x \ln a}\Big)^{\prime}=\ln a \cdot e^{x \ln a}=\ln a \cdot a^x .

Итак,

\Big(a^x\Big)^{\prime}=a^x \ln a .

Пусть дана логарифмическая функция y=\log _a x . Имеем

y^{\prime}=\Big(\log _a x\Big)^{\prime}=

\Big(\cfrac{\ln x}{\ln a}\Big)^{\prime}= \cfrac{1}{\ln a} \cdot(\ln x)^{\prime}=

\cfrac{1}{\ln a} \cdot \cfrac{1}{x}=\cfrac{1}{x \ln a} .

Провести касательную к графику функции y=\ln x в точке x=e . Решение. Напомним еще раз, как и в примере 1, что уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x=a имеет вид

y=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a) .

Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной к графику функции, учитывая, что в данном примере f(x)=\ln x .

1. a=e

2. f(a)=f(e)=\ln e=1

3. f^{\prime}(x)=\cfrac{1}{x} ; f^{\prime}(a)=f^{\prime}(e)=\cfrac{1}{e}

4. Подставим найденные числа a=e, f(a)=1, f^{\prime}(a)=\cfrac{1}{e} в формулу (1)

Получим: y=1+\cfrac{1}{e} \cdot(x-e) , т. е. y=\cfrac{x}{e} .

y=\ln x+x, \quad x_0=\cfrac{1}{7}

y^{\prime}(x)=(\ln x)^{\prime}+(x)^{\prime}=\cfrac{1}{x}+1

y^{\prime}\Big(\cfrac{1}{7}\Big)=1: \cfrac{1}{7}+1=7+1=8

y=x^3 \cdot \ln x, x_0=e

y^{\prime}(x)=\Big(x^3\Big)^{\prime} \cdot \ln x+x^3 \cdot(\ln x)^{\prime}= 3 x^2 \cdot \ln x+x^3 \cdot \cfrac{1}{x}

y^{\prime}(x)=3 x^2 \cdot \ln x+x^2=x^2 \cdot(3 \ln x+1)

y^{\prime}(e)=e^2 \cdot(3 \ln e+1)=e^2 \cdot(3 \cdot 1+1)=4 e^2

y=x^2-\ln x, x_0=0,5

y^{\prime}(x)=\Big(x^2\Big)^{\prime}-(\ln x)^{\prime}=2 x-\cfrac{1}{x}

y^{\prime}(0,5)=2 \cdot 0,5-\cfrac{1}{0,5}=

1-\cfrac{10}{5}=1-2=-1

y=\cfrac{\ln x}{x}, x_0=1

y^{\prime}(x)=\cfrac{(\ln x)^{\prime} \cdot x-\ln x \cdot(x)^{\prime}}{x^2}

=\cfrac{\cfrac{1}{x} \cdot x-\ln x \cdot 1}{x^2}=\cfrac{1-\ln x}{x^2} ;

y^{\prime}(1)=\cfrac{1-\ln 1}{1^2}=\cfrac{1-0}{1}=\cfrac{1}{1}=1 ;

y=\ln (2 x+2), x_0=-\cfrac{1}{4}

y^{\prime}(x)=(\ln (2 x+2))^{\prime}=2 \cdot \cfrac{1}{2 x+2}=\cfrac{1}{x+1}

y^{\prime}\Big(-\cfrac{1}{4}\Big)=1:\Big(-\cfrac{1}{4}+1\Big)=1: \cfrac{3}{4}=\cfrac{4}{3}=1 \cfrac{1}{3}

y=\ln (5-2 x), x_0=2 ;

y^{\prime}(x)=(\ln (5-2 x))^{\prime}= -2 \cdot \cfrac{1}{5-2 x}= \cfrac{2}{2 x-5} ;

y^{\prime}(2)=\cfrac{2}{2 \cdot 2-5}= \cfrac{2}{4-5}=\cfrac{2}{-1}=-2 ;

f(x)=x^5-\ln x, a=1 ;

Значение функции:

f(1)=1^5-\ln 1=1-0=1 \text {; }

Значение производной:

f^{\prime}(x)=\Big(x^5\Big)^{\prime}-(\ln x)^{\prime}=5 x^4-\cfrac{1}{x} ;

f^{\prime}(1)=5 \cdot 1^4-\cfrac{1}{1}=5-1=4 ;

Уравнение касательной:

y=y(a)+y^{\prime}(a)(x-a) ;

y=1+4(x-1)=

1+4 x-4=4 x-3 ;

f(x)=\cfrac{\ln x}{x^2}, a=1 ;

Значение функции:

f(1)=\cfrac{\ln 1}{1^2}=\cfrac{0}{1}=0 \text {; }

Значение производной:

f^{\prime}(x)=\cfrac{(\ln x)^{\prime} \cdot x^2-\ln x \cdot\Big(x^2\Big)^{\prime}}{\Big(x^2\Big)^2}

f^{\prime}(x)=\cfrac{\cfrac{1}{x} \cdot x^2-\ln x \cdot 2 x}{x^4}=

\cfrac{x-2 x \cdot \ln x}{x^4}=\cfrac{1-2 \ln x}{x^3} ;

f^{\prime}(1)=\cfrac{1-2 \cdot \ln 1}{1^3}=\cfrac{1-2 \cdot 0}{1}=\cfrac{1}{1}=1 ;

Уравнение касательной:

y=y(a)+y^{\prime}(a)(x-a)

y=0+1 \cdot(x-1)=x-1
.

f(x)=-2 x \cdot \ln x, a=e ;

Значение функции:

f(e)=-2 e \cdot \ln e=-2 e \cdot 1=-2 e \text {; }

Значение производной:

f^{\prime}(x)=(-2 x)^{\prime} \cdot \ln x+(-2 x) \cdot(\ln x)^{\prime} ;

f^{\prime}(x)=-2 \cdot \ln x-2 x \cdot \cfrac{1}{x}=-2 \ln x-2 ;

f^{\prime}(e)=-2 \cdot \ln e-2=-2 \cdot 1-2=-4 ;

Уравнение касательной:

y=y(a)+y^{\prime}(a)(x-a)

y=-2 e-4(x-e)=

-2 e-4 x+4 e=2 e-4 x

f(x)=\sqrt[3]{x} \cdot \ln x ;

f^{\prime}(x)=(\sqrt[3]{x})^{\prime} \cdot \ln x+\sqrt[3]{x} \cdot(\ln x)^{\prime}=\cfrac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} \cdot \ln x+\sqrt[3]{x} \cdot \cfrac{1}{x} ;

f^{\prime}(x)=\cfrac{ \ln x}{3 \sqrt[3]{x^2}}+ \cfrac{\sqrt[3]{x}}{x}=\cfrac{ \ln x}{3 \sqrt[3]{x^2}}+ \cfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}}

f^{\prime}(x)=\cfrac{ \ln x}{3 \sqrt[3]{x^2}}+ \cfrac{3}{3\sqrt[3]{x^2}}= \cfrac{ \ln x+3}{3 \sqrt[3]{x^2}}