Тест по теме: Предел функции на бесконечности

Предел функции на бесконечности можно записать в виде

\lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x)=b

Для функции вида y=\cfrac{1}{x^n}

Справедливо соотношение \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \Big( \cfrac{1}{x^n}\Big)=0 1{n} -1{n} \infty{n}

Свойство пределов

• \lim \limits_{x \rightarrow \infty}(f(x)+g(x))=\lim \limits_{x \rightarrow \infty}f(x) +\lim \limits_{x \rightarrow \infty}g(x)

• \lim \limits_{x \rightarrow \infty} k f(x)=k \lim \limits_{x \rightarrow \infty}f(x)

Расставьте в соответствии

• \lim\limits_{x \rightarrow \infty} f(x) g(x)=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} f(x) \cdot \lim\limits_{x \rightarrow \infty}g(x)

• \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \cfrac{f(x)}{g(x)}=\cfrac{\lim \limits_{x \rightarrow \infty}f(x)}{\lim \limits_{x \rightarrow \infty}g(x)}

Распишите этапы решения
\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \cfrac{2 x^{2}+3}{x^{2}-4}

\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \cfrac{3 x^{2}+5}{x^{2}-4}=

\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \cfrac{\cfrac{3 x^{2}}{x^2}+\cfrac{5}{x^2}}{\cfrac{x^{2}}{x^{2}}-\cfrac{4}{x^{2}}}= \cfrac{3+0}{1-0}=3

Для описания данного графика используют запись

\lim \limits_{x \rightarrow + \infty} f(x)= b - \infty{n} 0{n}

Для описания данного графика используют запись

\lim \limits_{x \rightarrow - \infty} f(x) = b + \infty{n} 0{n}

\text { Известно, что } \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x)=-3 \text {. Вычислите: }

\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \cfrac{f(x)}{3}=\cfrac{1}{3} \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=\cfrac{1}{3} \cdot(-3)=-1

\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\Big(\cfrac{1}{x^2}+\cfrac{3}{x^3}\Big)=

\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \cfrac{1}{x^2}+\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\cfrac{3}{x^3}=0+0=0

\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\Big(\Big(\cfrac{5}{x^3}+1\Big) \cdot\Big(-\cfrac{8}{x^2}-2\Big)\Big)=

\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\Big(\cfrac{5}{x^3}+1\Big) \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\Big(-\cfrac{8}{x^2}-2\Big)=

=\Big(\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \cfrac{5}{x^3}+1\Big)\Big(\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\Big(-\cfrac{8}{x^2}\Big)-2\Big)=

(0+1)(0-2)=1 \cdot(-2)=-2 \text {; }

\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\Big(\cfrac{2}{x^2}+\cfrac{8}{x^3}\Big)=

\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \cfrac{2}{x^2}+\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\cfrac{8}{x^3}=

0+0=0

\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\Big(\Big(\cfrac{7}{x^6}-2\Big) \cdot\Big(-\cfrac{6}{x^{10}}-3\Big)\Big)=

\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\Big(\cfrac{7}{x^6}-2\Big) \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\Big(-\cfrac{6}{x^{10}}-3\Big)=
=\Big(\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \cfrac{7}{x^6}-2\Big)\Big(\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\Big(-\cfrac{6}{x^{10}}\Big)-3\Big)=

(0-2)(0-3)=(-2) \cdot(-3)=6 \text {; }
Ответ: 6.