Тест по теме: Правила дифференцирования

Правила дифференцирования

Введение

Дифференцирование — это один из ключевых инструментов математического анализа, используемый для изучения изменения функций. Основная цель дифференцирования — нахождение производной функции, которая показывает, как быстро изменяется функция в данной точке. В этой статье мы рассмотрим несколько фундаментальных правил дифференцирования, таких как дифференцирование суммы, произведения и частного функций, а также приведем практические примеры их использования.

Теорема 1: Производная суммы функций

Если функции f(x) и g(x) имеют производные в точке x , то их сумма также имеет производную в этой точке, и производная суммы равна сумме производных:

(f(x) + g(x))^{\prime} = f^{\prime}(x) + g^{\prime}(x)

Это правило можно обобщить на любую сумму функций. Формально оно записывается как:

Пример 1:

Найдем производную функции y = x^2 + \sin x :

y^{\prime} = (x^2)^{\prime} + (\sin x)^{\prime} = 2x + \cos x

Таким образом, производная суммы равна сумме производных каждой из функций.

Теорема 2: Производная произведения функции на постоянный множитель

Если функция f(x) имеет производную в точке x , и k — это постоянный множитель, то функция y = k \cdot f(x) также имеет производную в этой точке, причем:

(k \cdot f(x))^{\prime} = k \cdot f^{\prime}(x)

То есть постоянный множитель можно вынести за знак производной.

Пример 2:

Найдем производные следующих функций:
\Big( 5x^2 \Big)^{\prime} = 5 \cdot (x^2)^{\prime} = 5 \cdot 2x = 10x

\Big( -\cfrac{\cos x}{3} \Big)^{\prime} = -\cfrac{1}{3} \cdot (\cos x)^{\prime} = -\cfrac{1}{3} \cdot (-\sin x) = \cfrac{1}{3} \sin x

Теорема 3: Производная произведения функций

Если функции f(x) и g(x) имеют производные в точке x , то их произведение также имеет производную в этой точке, и производная выражается следующим образом:

(f(x) \cdot g(x))^{\prime} = f^{\prime}(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g^{\prime}(x)

Это правило можно интерпретировать как сумму двух слагаемых: первое слагаемое — это производная первой функции, умноженная на вторую функцию, а второе — это первая функция, умноженная на производную второй функции.

Пример 3:

Найдем производную функции y = (2x + 3) \cdot \sin x :

y^{\prime} = (2x + 3)^{\prime} \cdot \sin x + (2x + 3) \cdot (\sin x)^{\prime} =

2 \cdot \sin x + (2x + 3) \cdot \cos x \ y^{\prime} = 2 \sin x + (2x + 3) \cos x

Теорема 4: Производная частного функций

Если функции f(x) и g(x) имеют производные в точке x и g(x) \neq 0 , то функция y = \cfrac{f(x)}{g(x)} также имеет производную в этой точке, причем:

\Big( \cfrac{f(x)}{g(x)} \Big)^{\prime} = \cfrac{f^{\prime}(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g^{\prime}(x)}{g^2(x)}

Пример 4:

Найдем производную функции y = \cfrac{x^2}{5 - 4x} :
y^{\prime} = \cfrac{(x^2)^{\prime} \cdot (5 - 4x) - x^2 \cdot (5 - 4x)^{\prime}}{(5 - 4x)^2} =

\cfrac{2x \cdot (5 - 4x) - x^2 \cdot (-4)}{(5 - 4x)^2} \ y^{\prime} = \cfrac{10x - 4x^2 + 4x^2}{(5 - 4x)^2} = \cfrac{10x}{(5 - 4x)^2}

Вывод общего правила для степенных функций

Производная функции вида y = x^n , где n — натуральное число, вычисляется по следующей формуле:

(x^n)^{\prime} = n \cdot x^{n-1}

Эта формула выводится через метод математической индукции и справедлива для любого натурального n .

Пример 5:

Найдем производные функций:
(a)\quad y = x^3 ;\quad y^{\prime} = 3x^2, \\ (b)\quad y = x^4 ;\quad y^{\prime} = 4x^3, \\ (c)\quad y = x^5 ;\quad y^{\prime} = 5x^4

Пример нахождения касательных

Задача: Найти точки, в которых касательная к графику функции y = x^3 - 3x + 2 параллельна оси x .

Решение: Сначала найдем производную функции:
y^{\prime} = (x^3 - 3x + 2)^{\prime} = 3x^2 - 3
Касательная параллельна оси x , если её угловой коэффициент равен нулю. Для этого приравняем производную к нулю:
3x^2 - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 1, \quad x_2 = -1
Теперь подставим найденные значения x_1 и x_2 в исходную функцию:
y_1 = 1^3 - 3 \cdot 1 + 2 = 0, \quad y_2 = (-1)^3 - 3 \cdot (-1) + 2 = 4
Ответ: Касательные в точках (1, 0) и (-1, 4) параллельны оси x .

Пример нахождения производной тригонометрических функций

Пример 6:

Найдем производные функций:

1. y = \operatorname{tg} x
2. y = \operatorname{ctg} x

Решение:

1. Используя формулу для производной частного и то, что \operatorname{tg} x = \cfrac{\sin x}{\cos x} , получаем:
   (\operatorname{tg} x)^{\prime} = \cfrac{(\sin x)^{\prime} \cdot \cos x - \sin x \cdot (\cos x)^{\prime}}{\cos^2 x} = \cfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \cfrac{1}{\cos^2 x}
   Таким образом, производная \operatorname{tg} x равна:
   (\operatorname{tg} x)^{\prime} = \cfrac{1}{\cos^2 x}

2. Для функции \operatorname{ctg} x = \cfrac{\cos x}{\sin x} аналогичные рассуждения дают:
   (\operatorname{ctg} x)^{\prime} = -\cfrac{1}{\sin^2 x}

Производная функции y=f(k x+m)

вычисляется по формуле

(f(k x+m))^{\prime}=k f^{\prime}(k x+m)

(\text{tg x})^{\prime}={\cfrac{1}{\cos^{2}x}}

(\operatorname{ctg}\,x)^{\prime}=-{\cfrac{1}{\sin^{2}x}}

y=-2 \sqrt{x}-\cfrac{1}{x}

y^{\prime}(x)=-2(\sqrt{x})^{\prime}-\Big(\cfrac{1}{x}\Big)^{\prime}=

-2 \cdot \cfrac{1}{2 \sqrt{x}}-\Big(-\cfrac{1}{x^2}\Big)=

\cfrac{1}{x^2}-\cfrac{1}{\sqrt{x}}

y=\Big(x^2-1\Big)\Big(x^4+2\Big)

y^{\prime}(x)=\Big(x^2-1\Big)^{\prime} \cdot\Big(x^4+2\Big)+\Big(x^2-1\Big) \cdot\Big(x^4+2\Big)^{\prime}

y^{\prime}(x)=(2 x-0) \cdot\Big(x^4+2\Big)+\Big(x^2-1\Big) \cdot\Big(4 x^3+0\Big)

y^{\prime}(x)=2 x^5+4 x+4 x^5-4 x^3=6 x^5-4 x^3+4 x \\

y=\Big(x^3+1\Big) \sqrt{x}

y^{\prime}(x)=\Big(x^3+1\Big)^{\prime} \cdot \sqrt{x}+\Big(x^3+1\Big) \cdot(\sqrt{x})^{\prime}

y^{\prime}(x)=\Big(3 x^2+0\Big) \cdot \sqrt{x}+\Big(x^3+1\Big) \cdot \cfrac{1}{2\sqrt{x} } ;

y^{\prime}(x)=\cfrac{3 x^2 \cdot \sqrt{x} \cdot 2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}+\cfrac{x^3+1}{2 \sqrt{x}}=

\cfrac{6 x^3+x^3+1}{2 \sqrt{x}}=\cfrac{7 x^3 +1}{2 \sqrt{x}}

y=\Big(x^2+3\Big)\Big(x^4-1\Big)

y^{\prime}(x)=\Big(x^2+3\Big)^{\prime} \cdot\Big(x^4-1\Big)+\Big(x^2+3\Big) \cdot\Big(x^4-1\Big)^{\prime}

y^{\prime}(x)=(2 x+0) \cdot\Big(x^4-1\Big)+\Big(x^2+3\Big) \cdot\Big(4 x^3-0\Big)

y^{\prime}(x)=2 x^5-2 x+4 x^5+12 x^3=6 x^5+12 x^3-2 x

y=\sqrt{x}\Big(x^4+2\Big) ;

y^{\prime}(x)=(\sqrt{x})^{\prime} \cdot\Big(x^4+2\Big)+\sqrt{x} \cdot\Big(x^4+2\Big)^{\prime} ;

y^{\prime}(x)=\cfrac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot\Big(x^4+2\Big)+\sqrt{x} \cdot\Big(4 x^3+0\Big) ;

y^{\prime}(x)=\cfrac{x^4+2}{2 \sqrt{x}}+\cfrac{4 x^3 \cdot \sqrt{x} \cdot 2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}=

\cfrac{x^4+2+8 x^4}{2 \sqrt{x}}=\cfrac{9 x^4+2}{2 \sqrt{x}}

y=\cfrac{x^3}{2 x+4} \\ y^{\prime}(x)=\cfrac{\Big(x^3\Big)^{\prime} \cdot(2 x+4)-x^3 \cdot(2 x+4)^{\prime}}{(2 x+4)^2}=

\cfrac{3 x^2 \cdot(2 x+4)-x^3 \cdot 2}{(2 x+4)^2} =

y^{\prime}(x)\cfrac{6 x^3+12 x^2-2 x^3}{(2(x+2))^2}= \cfrac{4 x^3+12 x^2}{4(x+2)^2}=\cfrac{x^2 \cdot(x+3)}{(x+2)^2}

y=\cfrac{x^2}{x^2-1} ;

y^{\prime}(x)=\cfrac{\Big(x^2\Big)^{\prime} \cdot\Big(x^2-1\Big)-x^2 \cdot\Big(x^2-1\Big)^{\prime}}{\Big(x^2-1\Big)^{2}}=

\cfrac{2 x \cdot\Big(x^2-1\Big)-x^2 \cdot(2 x-0)}{\Big(x^2-1\Big)^2}

y^{\prime}(x)=\cfrac{2 x^3-2 x-2 x^3}{\Big(x^2-1\Big)^2}=-\cfrac{2 x}{\Big(x^2-1\Big)^2} ; \\

y=\cfrac{x^2}{3-4 x} ;

y^{\prime}(x)=\cfrac{\Big(x^2\Big)^{\prime} \cdot(3-4 x)-x^2 \cdot(3-4 x)^{\prime}}{(3-4 x)^2}=

\cfrac{2 x \cdot(3-4 x)-x^2 \cdot(-4)}{(3-4 x)^2} ;

y^{\prime}(x)=\cfrac{6 x-8 x^2+4 x^2}{(3-4 x)^2}=

\cfrac{6 x-4 x^2}{(3-4 x)^2}=\cfrac{2 x \cdot(3-2 x)}{(3-4 x)^2} ;

y=\cfrac{x}{x^2+1}

y^{\prime}(x)=\cfrac{(x)^{\prime} \cdot\Big(x^2+1\Big)-x \cdot\Big(x^2+1\Big)^{\prime}}{\Big(x^2+1\Big)^{2}}=

\cfrac{1 \cdot\Big(x^2+1\Big)-x \cdot(2 x+0)}{\Big(x^2+1\Big)^2}

y^{\prime}(x)=\cfrac{x^2+1-2 x^2}{\Big(x^2+1\Big)^2}=\cfrac{1-x^2}{\Big(x^2+1\Big)^2}