Тест по теме: Свойства корня n-й степени

Извлечение корня — операция, связанная с несколькими важными свойствами. Рассмотрим основные из них.

Теорема 1. Корень из произведения

Корень n -й степени ( n = 2, 3, 4, \ldots ) из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней n -й степени из этих чисел: \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}.

Доказательство:

1. Пусть:
   • \sqrt[n]{ab} = x ,
   • \sqrt[n]{a} = y ,
   • \sqrt[n]{b} = z .
2. Тогда:
   • x^n = ab ,
   • y^n = a ,
   • z^n = b .
3. Подставляя y^n и z^n в x^n , получаем: x^n = y^n \cdot z^n = (yz)^n. Отсюда x = yz , что и требовалось доказать.

Теорема 2. Корень из частного

Если a \geq 0 , b > 0 и n — натуральное число больше 1, то: \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}.

Кратко: корень из частного равен частному корней.

Доказательство (аналогично теореме 1):

1. Пусть:
   • \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = x ,
   • \sqrt[n]{a} = y ,
   • \sqrt[n]{b} = z .
2. Тогда:
   • x^n = \frac{a}{b} ,
   • y^n = a ,
   • z^n = b .
3. Подставляя y^n и z^n в x^n , имеем: x^n = \frac{y^n}{z^n} = \left(\frac{y}{z}\right)^n. Следовательно, x = \frac{y}{z} .

Теорема 3. Возведение корня в степень

Если a \geq 0 , k — натуральное число, n > 1 , то: (\sqrt[n]{a})^k = \sqrt[n]{a^k}.

Иными словами, чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.

Доказательство: Для k = 3 : (\sqrt[n]{a})^3 = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{a} = \sqrt[n]{a \cdot a \cdot a} = \sqrt[n]{a^3}.

Аналогично для любого k .

Теорема 4. Корень из корня

Если a \geq 0 , n, k > 1 , то: \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}.

Доказательство:

1. Пусть:
   • \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = x ,
   • \sqrt[nk]{a} = y .
2. Тогда:
   • x^n = \sqrt[k]{a} ,
   • y^{nk} = a ,
   • x^{nk} = a .
3. Сравнивая x^{nk} и y^{nk} , получаем x = y .

Теорема 5. Изменение показателей

Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится: \sqrt[np]{a^{kp}} = \sqrt[n]{a^k}.

Пример:

1. \sqrt[12]{a^8} = \sqrt[3]{a^2} (показатели разделены на 4).
2. \sqrt[5]{a^2} = \sqrt[10]{a^4} (показатели умножены на 2).

Доказательство:

1. Пусть:
   • \sqrt[np]{a^{kp}} = x ,
   • \sqrt[n]{a^k} = y .
2. Тогда:
   • x^{np} = a^{kp} ,
   • y^n = a^k .
3. Возведя y^n = a^k в степень p , получаем: y^{np} = a^{kp}. Следовательно, x = y .

Примеры:

1. Вычислить \sqrt[3]{125 \cdot 64 \cdot 27} : \sqrt[3]{125 \cdot 64 \cdot 27} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{27} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60.

2. Вычислить \sqrt[4]{\frac{81}{16}} : \sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{3}{2} = 1.5.

3. Перемножить \sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a} :

   • По теореме 5: \sqrt{a} = \sqrt[6]{a^3}, \quad \sqrt[3]{a} = \sqrt[6]{a^2}.
   • Тогда: \sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a} = \sqrt[6]{a^3} \cdot \sqrt[6]{a^2} = \sqrt[6]{a^5}.

Свойство корней

\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}

\sqrt[n]{\cfrac{a}{b}}=\cfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

Найти значение \sqrt[3]{125 \cdot 64 \cdot 27}

\sqrt[3]{125 \cdot 64 \cdot 27}=

\sqrt[3]{125}\cdot\sqrt[3]{64}\cdot\sqrt[3]{27}=

5\cdot4\cdot3=60

Вычислить \sqrt[4]{5{\cfrac{1}{16}}}

\sqrt[4]{5{\cfrac{1}{16}}}=\sqrt[4]{{\cfrac{81}{16}}}=

\cfrac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}}=\cfrac{3}{2}

Теорема

\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}

Теорема

\sqrt[np]{a^{kp}} = \sqrt[n]{a^{k}} p{n}

\sqrt[3]{\sqrt[4]{a}}=\sqrt[12]{a}

\sqrt[5]{\sqrt{a}}=\sqrt[10]{a}

\sqrt{\sqrt{a}}=\sqrt[4]{a}

\sqrt[5]{243 \cdot \cfrac{1}{32}}=

\sqrt[5]{243} \cdot \sqrt[5]{\cfrac{1}{32}}=

3 \cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{3}{2}=1,5

\sqrt[6]{64 \cdot \cfrac{1}{729}}=

\sqrt[6]{64} \cdot \sqrt[6]{\cfrac{1}{729}}=2 \cdot \cfrac{1}{3}=\cfrac{2}{3}

\sqrt[5]{7 \cfrac{19}{32}}=\sqrt[5]{\cfrac{243}{32}}=

\cfrac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}}=\cfrac{3}{2}=1,5

\sqrt[3]{24 \cdot 9}=\sqrt[3]{8 \cdot 3 \cdot 9}=

\sqrt[3]{8 \cdot 3^{3}}=\sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3^3}=2 \cdot 3=6

\sqrt[5]{48 \cdot 162}=\sqrt[5]{\Big(16 \cdot 3 \Big) \cdot(2 \cdot 81)}=

\sqrt[5]{2^{4} \cdot 3 \cdot 2\cdot 3^{4}}=

\sqrt[5]{2^5 \cdot 3^5}=

\sqrt[5]{2^{5}} \cdot \sqrt[5]{3^5}=2 \cdot 3=6

\sqrt[3]{75 \cdot 45}=

\sqrt[3]{(5 \cdot 5 \cdot 3) \cdot\Big(5 \cdot 3 \cdot 3\Big)}=

\sqrt[3]{5^{3} \cdot 3^{3}}=

\sqrt[3]{5^3} \cdot \sqrt[3]{3^3}=5 \cdot 3=15

\sqrt[4]{54\cdot 24}=\sqrt[4]{27\cdot 2\cdot 8\cdot 3}=

\sqrt[4]{3^4 \cdot 2^4}=3 \cdot 2=6

\sqrt[3]{24 \cdot 9}=\sqrt[3]{8 \cdot 3 \cdot 9}=

\sqrt[3]{8 \cdot 3^{3}}=

\sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3^3}=2 \cdot 3=6

\sqrt[5]{48 \cdot 162}=

\sqrt[5]{\Big(16 \cdot 3 \Big) \cdot(2 \cdot 81)}=

\sqrt[5]{2^{4} \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3^{4}}=

\sqrt[5]{2^5 \cdot 3^5}=\sqrt[5]{2^{5}} \cdot \sqrt[5]{3^5}=2 \cdot 3=6

\sqrt[3]{75 \cdot 45}=\sqrt[3]{(5\cdot 5 \cdot 3) \cdot\Big(5 \cdot 3\cdot 3\Big)}=

\sqrt[3]{5^{3} \cdot 3^{3}}=\sqrt[3]{5^3} \cdot \sqrt[3]{3^3}=5 \cdot 3=15

\sqrt[4]{54\cdot 24}=\sqrt[4]{27\cdot 2\cdot 8\cdot 3}=

\sqrt[4]{3^{4} \cdot 2^{4}}=3 \cdot 2=6

\sqrt[4]{\cfrac{7^8}{3^4}}=\cfrac{7^{2}}{3}=

\cfrac{49}{3}=16 \cfrac{1}{3}

\sqrt[3]{\cfrac{5^{6}}{3^9}}=\sqrt[3]{\cfrac{5^{2 \cdot 3}}{3^{3 \cdot 3}}}=

\cfrac{5^{2}}{3^{3}}=\cfrac{25}{27}

\sqrt[4]{\cfrac{3^{12}}{2^8}}=\sqrt[4]{\cfrac{3^{ 4 \cdot 3 }}{2^{ 4 \cdot 2 }}}=

\cfrac{ 3 ^{3}}{ 2 ^{2}}=\cfrac{27}{ 4 }

\sqrt[5]{\cfrac{5^5}{13^{10}}}=\sqrt[ 5 ]{\cfrac{ 5 ^{5}}{ 13 ^{2 \cdot 5}}}=

\cfrac{5}{ 13 ^{2}}=\cfrac{5}{ 169 }

\sqrt[4]{b^8}=\sqrt[4]{b^{2 \cdot{ 4}}}=

\Big(\sqrt[4]{b^{4}}\Big)^{2}=b^2

\sqrt{l^6}=\sqrt{l^{2 \cdot 3}}=

\Big(\sqrt{l^2}\Big)^{3}=l^3

\sqrt[3]{t^{12}}=\sqrt[3]{t^{3 \cdot 4}}=t^{4}