Синус и косинус суммы и разности аргументов
Одной из ключевых тем тригонометрии является преобразование синуса и косинуса суммы и разности аргументов. Эти формулы позволяют значительно упростить вычисления, связать разные углы и использовать известные значения тригонометрических функций для вычисления менее очевидных углов.
Формулы синуса и косинуса суммы и разности аргументов
Основные формулы синуса и косинуса для суммы и разности двух углов \alpha и \beta следующие:
-
Синус суммы:
\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta
-
Синус разности:
\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta
-
Косинус суммы:
\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta
-
Косинус разности:
\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta
Эти формулы играют ключевую роль в тригонометрии, так как позволяют разложить сложные выражения на более простые.
Вывод формул
Для того чтобы лучше понять, как работают формулы синуса и косинуса суммы и разности аргументов, выведем их, используя геометрический подход.
Вывод формулы для синуса суммы
Рассмотрим два угла \alpha и \beta , построенные на единичной окружности. Пусть точка A с координатами (\cos \alpha, \sin \alpha) соответствует углу \alpha , а точка B с координатами (\cos \beta, \sin \beta) — углу \beta .
Используя векторные свойства и тригонометрические соотношения, можно записать длины проекций и векторов для углов \alpha и \beta . После выполнения операций сложения проекций и использования основных тригонометрических тождеств, можно получить формулу:
\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta
Вывод формулы для косинуса суммы
Аналогичным образом, применяя геометрические свойства к единичной окружности и разбивая проекции углов на оси, можно получить формулу для косинуса суммы:
\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta
Для разности углов формулы выводятся похожим образом.
Примеры применения формул
Рассмотрим несколько примеров для того, чтобы понять, как данные формулы используются на практике.
Пример 1. Вычисление синуса и косинуса угла
Вычислим \sin 75^\circ и \cos 75^\circ , используя известные значения для углов 45° и 30°.
Используем формулу для синуса суммы:
\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ
Подставим известные значения:
\sin 45^\circ = \cfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 45^\circ = \cfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \cfrac{1}{2}, \quad \cos 30^\circ = \cfrac{\sqrt{3}}{2}
Теперь подставим в формулу:
\sin 75^\circ = \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2} + \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2} = \cfrac{\sqrt{6}}{4} + \cfrac{\sqrt{2}}{4} = \cfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
Для косинуса угла 75^\circ используем формулу косинуса суммы:
\cos 75^\circ = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ
Подставим значения:
\cos 75^\circ = \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2} - \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2} = \cfrac{\sqrt{6}}{4} - \cfrac{\sqrt{2}}{4} = \cfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
Таким образом, мы получили точные значения для синуса и косинуса угла 75^\circ .
Пример 2. Применение формул в решении уравнений
Рассмотрим уравнение:
\sin x = \sin\Big( \cfrac{\pi}{3} + \cfrac{\pi}{6} \Big)
Сначала используем формулу для синуса суммы:
\sin\Big( \cfrac{\pi}{3} + \cfrac{\pi}{6} \Big) = \sin \cfrac{\pi}{3} \cos \cfrac{\pi}{6} + \cos \cfrac{\pi}{3} \sin \cfrac{\pi}{6}
Значения тригонометрических функций:
\sin \cfrac{\pi}{3} = \cfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \cfrac{\pi}{3} = \cfrac{1}{2}, \quad \sin \cfrac{\pi}{6} = \cfrac{1}{2}, \quad \cos \cfrac{\pi}{6} = \cfrac{\sqrt{3}}{2}
Подставим их в формулу:
\sin\Big( \cfrac{\pi}{3} + \cfrac{\pi}{6} \Big) = \cfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2} + \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} = \cfrac{3}{4} + \cfrac{1}{4} = 1
Таким образом, уравнение принимает вид:
\sin x = 1
Решение этого уравнения:
x = \cfrac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
Пример 3. Применение формул для разности аргументов
Вычислим \cos 15^\circ , используя разность углов 45° и 30°.
\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ
Подставим известные значения:
\cos 15^\circ = \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2} + \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2} = \cfrac{\sqrt{6}}{4} + \cfrac{\sqrt{2}}{4} = \cfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
Таким образом, мы вычислили \cos 15^\circ .
