Тест по теме: Точки экстремума функции

Определение экстремума

Точки экстремума функции y = f(x) — это точки, в которых функция принимает локально наибольшее или наименьшее значение. Их разделяют на точки максимума и точки минимума.

• Точка максимума x = x_0: если существует окрестность этой точки, в которой выполняется неравенство f(x) \leqslant f(x_0).
• Точка минимума x = x_0: если существует окрестность этой точки, в которой выполняется неравенство f(x) \geqslant f(x_0).

Значения функции в таких точках называют соответственно y_{\max} и y_{\min}. Эти значения — локальные, т. е. определяются только по значениям функции в окрестности точки.

Признаки экстремума

1. Необходимое условие экстремума: Если функция y = f(x) имеет экстремум в точке x_0, то в этой точке производная:

   • либо равна нулю (f'(x_0) = 0),
   • либо не существует.

   Такие точки называются:

   • Стационарные: f'(x) = 0,
   • Критические: f'(x) не существует, но f(x) непрерывна.

2. Достаточное условие экстремума: Пусть функция y = f(x) непрерывна в окрестности точки x = x_0, и x_0 — стационарная или критическая точка. Тогда:

   • Если слева от x_0 f'(x) < 0, а справа f'(x) > 0, то x_0 — точка минимума.
   • Если слева f'(x) > 0, а справа f'(x) < 0, то x_0 — точка максимума.
   • Если знаки f'(x) по обе стороны от x_0 одинаковы, то экстремума в этой точке нет.

Пример 1: Квадратичная функция

Пусть y = 2x^2 - 6x + 3. Найдем точки экстремума:

1. Производная функции: y' = 4x - 6.
2. Приравниваем производную к нулю: 4x - 6 = 0 \implies x = 1.5.
3. Подставляем x = 1.5 в y: y(1.5) = 2(1.5)^2 - 6(1.5) + 3 = -1.5.
4. Вершина параболы (1.5, -1.5) — точка минимума.

Пример 2: Функция с разрывом

Рассмотрим y = \frac{x^4 + 16}{x^2}. Найдем экстремумы:

1. Производная: y' = \frac{2(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)}{x^3}.
2. Производная равна нулю в x = -2 и x = 2. В точке x = 0 функция имеет разрыв.
3. Исследуем знаки производной:
   • На (- \infty, -2): y' < 0,
   • На (-2, 0): y' > 0,
   • На (0, 2): y' < 0,
   • На (2, +\infty): y' > 0.
4. Точки x = -2 и x = 2 — точки минимума. Значение функции: y(-2) = y(2) = 8.

---

Примечание

Для функций с разрывами (например, дробных) полюсы также отмечают на числовой прямой и исключают из анализа экстремумов.

Этот метод позволяет систематически исследовать функции любой сложности.

Точку x=x_0 называют точкой минимума функции y=f(x) если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство

f(x) \geq f(x_{0})

Точку x=x_0 называют точкой максимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство.

f(x) \leq f(x_{0})

Исследовать функцию y={\cfrac{x^{4}+16}{x^{2}}} на монотонность и экстремумы.

Производная функции \cfrac{2(x-2)(x+2)(x^{2}+4)}{x^{3}}

• Производная обращается в нуль в точках x = 2; x = -2 — это стационарные точки.
• Производная не существует в точке x = 0, но это не критическая точка, это точка разрыва функции

• на луче (-\infty;-2] функция убывает
• на полу­ интервале [-2;0) функция возрастает
• на полуинтервале [0;2) функция убывает
• на луче [2;+\infty) функция возрастает

Точка экстремума

• x = -2 - точка минимума
• x = 2 - точка максимума

y=x^4-8 x^2 ;

Производная функции:

y^{\prime}(x)=\Big(x^4\Big)^{\prime}-8\Big(x^2\Big)^{\prime} ; \\ y^{\prime}(x)=4 x^3-8 \cdot 2 x=4 x^3-16 x

Промежуток возрастания:

4 x^3-16 x \geq 0 ;

4 x\Big(x^2-4\Big) \geq 0 ;

(x+2) x(x-2) \geq 0 ;

-2 \leq x \leq 0 \text { или } x \geq 2 ;

Ответ

x= \pm 2-\text { точка минимума; } \\ x=0 \text { - точка максимума. }

y=7+12 x-x^3

Найдем производную функции:

\begin{aligned} & y^{\prime}=12-3 x^2 \\ & 12-3 x^2=0 \\ & 4=x^2 \\ & \quad x= \pm 2 \end{aligned}

Исследуем поведение производной: \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline$x$ & $(-\infty ;-2)$ & -2 & $(-2 ; 2)$ & 2 & $(2 ;+\infty)$ \\ \hline$f^{\prime}(x)$ & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline \end{tabular} Итак, функция имеет точку минимума в x=-2 и точку максимума в x=2.

y=3 x^3+2 x^2-7

Найдем производную функции:

\begin{gathered} y^{\prime}=9 x^2+4 x \\ x(9 x+4)=0 \\ x_1=0, x_2=-\frac{4}{9} \end{gathered}

Исследуем поведение производной: \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline$x$ & $\left(-\infty ;-\frac{4}{9}\right)$ & $-\frac{4}{9}$ & $\left(-\frac{4}{9} ; 0\right)$ & 0 & $(0 ;+\infty)$ \\ \hline$f^{\prime}(x)$ & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline \end{tabular} Итак, функция имеет точку минимума в x=0 и точку максимума в x=-\frac{4}{9}.

y=8+2 x^2-x^4

Найдем производную функции:

\begin{gathered} y^{\prime}=4 x-4 x^3 \\ x\left(1-x^2\right)=0 \\ x_1=0 \\ x_{2,3}= \pm 1 \end{gathered}

Исследуем поведение производной:

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline$x$ & $(-\infty ;-1)$ & -1 & $(-1 ; 0)$ & 0 & $(0 ; 1)$ & 1 & $(1 ;+\infty)$ \\ \hline$f^{\prime}(x)$ & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline \end{tabular} Итак, функция имеет точку минимума в x=0 и точки максимума в x=-1 и x=1.

y=2 x+\cfrac{8}{x}

Найдем производную функции:

\begin{gathered} y^{\prime}=2-\frac{8}{x^{2}} \\ 2-\frac{8}{x^2}=0 \\ x \neq 0 \\ 2 x^2=8 \\ x= \pm 2 \end{gathered}

Исследуем поведение производной: \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline$x$ & $(-\infty ;-2)$ & -2 & $(-2 ; 0)$ & 0 & $(0 ; 2)$ & 2 & $(2 ;+\infty)$ \\ \hline$f^{\prime}(x)$ & + & 0 & - & Не существует & - & 0 & + \\ \hline \end{tabular} Итак, функция имеет точку минимума в x=2, точку максимума в x=-2.

y=(x-3)^4

Найдем производную функции:

y^{\prime}=4(x-3)^3

Найдем производную функции:

\begin{aligned} & 4(x-3)^{3}=0 \\ & x-3=0 \\ & x=3 \end{aligned}

Исследуем поведение производной: \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline$x$ & $(-\infty ; 3)$ & 3 & $(3 ;+\infty)$ \\ \hline$f^{\prime}(x)$ & - & 0 & + \\ \hline \end{tabular} Итак, функция имеет точку минимума в x=3

y=x^3-7 x^2-5 x+11

Найдем производную функции:

y^{\prime}=3 x^2-14 x-5 Найдем нули производной.gct.ru gck.ru gctz.ru

\begin{gathered} 3 x^2-14 x-5=0 \\ x_{1,2}=\frac{14 \pm \sqrt{14^2+4 \cdot 3 \cdot 5}}{6}=\frac{14 \pm 16}{6} \\ x_1=5, x_2=-\frac{1}{3} \end{gathered}

Исследуем поведение производной: \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline$x$ & $\left(-\infty ;-\frac{1}{3}\right)$ & $-\frac{1}{3}$ & $\left(-\frac{1}{3} ; 5\right)$ & 5 & $(5 ;+\infty)$ \\ \hline$f^{\prime}(x)$ & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline \end{tabular}

Итак, функция имеет точку минимума в x=5, точку максимума в x=-\frac{1}{3}.

y=x^3-27 x+26

Найдем производную функции:

y^{\prime}=3 x^2-27

Найдем нули производной:

\begin{gathered} 3 x^2-27=0 \\ x^2=9 \\ x_1=-3, x_2=3 \end{gathered}

Исследуем поведение производной: \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline$x$ & $(-\infty ;-3)$ & -3 & $(-3 ; 3)$ & 3 & $(3 ;+\infty)$ \\ \hline$f^{\prime}(x)$ & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline \end{tabular} Итак, функция имеет точку минимума в x=3, точку максимума в x=-3.

y=\cfrac{x^3}{3}-\cfrac{5}{2} x^2+6 x-1

Найдем производную функции:

y^{\prime}=x^{2}-5 x+6

Найдем нули производной:

\begin{gathered} x^2-5 x+6=0 \\ x_{1,2}=\frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2}=\frac{5 \pm 1}{2} \\ x_1=2, x_2=3 \end{gathered}

Исследуем поведение производной: \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline$x$ & $(-\infty ; 2)$ & 2 & $(2 ; 3)$ & 3 & $(3 ;+\infty)$ \\ \hline$f^{\prime}(x)$ & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline \end{tabular} Итак, функция имеет точку минимума в x=3, точку максимума в x=2.