Тест по теме: Показательные уравнения и неравенства

Показательные уравнения: определение, методы решения и примеры

Показательные уравнения — это уравнения, в которых переменная содержится в показателе степени. Основная форма таких уравнений выглядит следующим образом:

a^{f(x)} = a^{g(x)},

где a — положительное число, отличное от 1, а f(x) и g(x) — некоторые функции. Для решения таких уравнений важны свойства показательной функции. Согласно теоремам, если основания показательных функций одинаковы и не равны 1, то выражение a^{f(x)} = a^{g(x)} эквивалентно уравнению:

f(x) = g(x).

Давайте рассмотрим это на примерах.

Пример 1

Решить уравнения:

а) 2^{2x - 4} = 64 ;

б) \Big( \cfrac{1}{3} \Big)^{2x - 3.5} = \cfrac{1}{\sqrt{3}} ;

в) 5^{x^2 - 3x} = 5^{3x - 8} .

Решение:

а) Представим 64 как 2^6 :

2^{2x - 4} = 2^6.

Согласно свойствам показательной функции, можно приравнять показатели:

2x - 4 = 6.

Решаем уравнение:

2x = 10,

x = 5.

б) Представим \cfrac{1}{\sqrt{3}} как \Big( \cfrac{1}{3} \Big)^{\frac{1}{2}} :

\Big( \cfrac{1}{3} \Big)^{2x - 3.5} = \Big( \cfrac{1}{3} \Big)^{0.5}.

Приравниваем показатели:

2x - 3.5 = 0.5,

Решаем уравнение:

2x = 4,

x = 2.

в) Здесь у нас уже одинаковые основания, поэтому уравнение 5^{x^2 - 3x} = 5^{3x - 8} можно переписать в виде:

x^2 - 3x = 3x - 8.

Переносим все в одну сторону:

x^2 - 6x + 8 = 0.

Решаем квадратное уравнение:

x_1 = 2, \quad x_2 = 4.

Пример 2

Решить уравнение:

\cfrac{(0.2)^{x - 0.5}}{\sqrt{5}} = 5 \cdot 0.04^{x - 2}.

Решение:

1. Представим (0.2)^{x - 0.5} как \Big( \cfrac{1}{5} \Big)^{x - 0.5} = 5^{0.5 - x} ;
2. \sqrt{5} = 5^{0.5} ;
3. Таким образом, преобразуем левую часть уравнения:

\cfrac{5^{0.5 - x}}{5^{0.5}} = 5^{-x}.

4. Преобразуем правую часть: 0.04 = \cfrac{1}{25} = 5^{-2} , поэтому правую часть можно записать как:

5 \cdot 5^{-2(x - 2)} = 5^{5 - 2x}.

Теперь уравнение принимает вид:

5^{-x} = 5^{5 - 2x}.

Приравниваем показатели:

-x = 5 - 2x,

Решаем уравнение:

x = 5.

Пример 3

Решить уравнение:

4^x + 2^{x+1} - 24 = 0.

Решение:

Преобразуем 4^x как (2^2)^x = 2^{2x} , а 2^{x+1} = 2 \cdot 2^x :

2^{2x} + 2 \cdot 2^x - 24 = 0.

Введем новую переменную: y = 2^x . Тогда уравнение примет вид:

y^2 + 2y - 24 = 0.

Решаем квадратное уравнение:

y_1 = 4, \quad y_2 = -6.

Поскольку y = 2^x , нам остается решить два уравнения:

1. 2^x = 4 , откуда x = 2 ;
2. 2^x = -6 , что не имеет решений, так как показательная функция всегда положительна.

Ответ: x = 2 .

Пример 4

Решить систему уравнений:

\begin{cases} 2 \cdot (\sqrt{2})^{x+y} = 16^{3x - y}, \\ 9^{x+y} - 3^{x+y} = 72. \end{cases}

Решение:

1. Преобразуем первое уравнение:

2 \cdot (\sqrt{2})^{x+y} = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}(x+y)} = 2^{1 + \frac{x+y}{2}}.

С правой стороны представим 16 = 2^4 , тогда:

16^{3x - y} = 2^{4(3x - y)} = 2^{12x - 4y}.

Теперь уравнение примет вид:

2^{1 + \frac{x+y}{2}} = 2^{12x - 4y}.

Приравниваем показатели:

1 + \cfrac{x+y}{2} = 12x - 4y.

Преобразуем это уравнение:

2 + x + y = 24x - 8y,

или

23x - 9y = 2. \quad (1)

2. Преобразуем второе уравнение. Введем новую переменную z = 3^{x+y} , тогда:

z^2 - z = 72.

Решаем квадратное уравнение:

z_1 = 9, \quad z_2 = -8.

Из 3^{x+y} = 9 находим:

x + y = 2. \quad (2)

3. Теперь решим систему уравнений:

\begin{cases} 23x - 9y = 2, \\ x + y = 2. \end{cases}

Умножим второе уравнение на 9 и сложим с первым:

23x - 9y + 9x + 9y = 2 + 18,

32x = 20,

x = \cfrac{5}{8}.

Подставим значение x в уравнение x + y = 2 :

\cfrac{5}{8} + y = 2,

y = \cfrac{11}{8}.

Ответ: \Big( \cfrac{5}{8}, \cfrac{11}{8} \Big) .

Методы решения показательных уравнений

1. Метод уравнивания показателей. Этот метод основан на приведении обеих частей уравнения к одному и тому же основанию и приравнивании показателей степеней.

2. Метод введения новой переменной. В некоторых уравнениях удобно ввести новую переменную, чтобы упростить выражение и решить его стандартными методами, например, через квадратные уравнения.

3. Функционально-графический метод. Этот метод использует графические иллюстрации и свойства функций для нахождения корней.

Показательными уравнениями называют уравнения вида

a^{ f(x) }=a^{g(x)}

Решить уравнения:

2^{2 x-4}=64

2^{2 x-4}=2^6 \\ 2 x-4=6\\ 2 x=10\\ x=5

\left(\cfrac{1}{3}\right)^{2 x-3,5}=\cfrac{1}{\sqrt{3}}

\left(\cfrac{1}{3}\right)^{2 x-3,5}=

\left(\cfrac{1}{3}\right)^{0,5}\\ 2 x-3,5=0,5\\ 2 x=

4\\ x=2\\

Решить уравнение

\cfrac{(0,2)^{x-0,5}}{\sqrt{5}}=5 \cdot 0,04^{x-2}

\cfrac{\left(5^{-1}\right)^{x-0,5}}{5^{0,5}}=

5 \cdot \left(\cfrac{1}{25}\right)^{x-2}

\cfrac{5^{0,5-x}}{5^{0,5}}=5 \cdot \left(5^{-2}\right)^{x-2}

5^{-x}=5 \cdot 5^{-2 x+4}

5^{-x}= 5^{1-2 x+4}

5^{-x}= 5^{5-2 x}

-x=5-2 x\\ x=5

Показательное уравнение

a^{f(x)}=a^{g(x)} где a\gt0, a \neq 1

равносильно уравнению

f(x)=g(x) a{n} x{n}

4^x=\cfrac{1}{16}

4^x=\cfrac{1}{4^{2}}=4^{-2}

x=-2

7^x=\cfrac{1}{343}

7^x=\cfrac{ 1 }{7^{ 3 }}=

7^{- 3 } \\ x=- 3

10^x=\sqrt[4]{1000}

10^x=\sqrt[4]{10^{3}}=10^{\frac{3}{4}}

x=\cfrac{3}{4}

\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^{x}=36

\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^x =6^2=\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^{-2}

x =-2

5^x=\cfrac{1}{\sqrt[3]{25}}

5^x=\cfrac{1}{\sqrt[3]{5^{2}}}=

\cfrac{1}{5^{\frac{2}{3}}}=5^{-\frac{2}{3}}

x=-\cfrac{2}{3}

0,3^x=\sqrt[4]{0,0081}

0,3^x=\sqrt[4]{0,3^{4}}=0,3^{1}

x=1

\Big(\cfrac{1}{5}\Big)^x=25 \sqrt{5}

\Big(\cfrac{1}{5}\Big)^x=5^{2+0,5}=5^{2,5}=\Big(\cfrac{1}{5}\Big)^{-2,5}

x=-2,5 \\

3^{-1-x}=\Big(\cfrac{1}{3}\Big)^{2 x+3}

3^{-1-x} =3^{-(2 x+3)}

-1-x =-2 x-3 \\ x =-2

6^{2 x-8}=216^x

6^{2 x-8}=\Big(6^{3}\Big)^{x}

2 x-8=3 x

x=-8

\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^{4 x-7}=6^{x-3}

6^{-(4 x-7)} =6^{x-3}

-4 x+7 =x-3

5 x =10

x =2