Тест по теме: Основные тригонометрические тождества

\sin^2+\cos^2t=1

\operatorname{tg} t=\cfrac{\sin t}{\cos t}

\operatorname{ctg} t=\cfrac{\cos t}{\sin t}

\operatorname{tg} t\cdot \operatorname{ctg} t =1

1+\operatorname{tg}^2 x=\cfrac{1}{\cos^{2} x}

1+\operatorname{ctg}^2 x=\cfrac{1}{\sin^{2} x}

\cfrac{1-2 \sin t \cos t}{(\cos t-\sin t)^2}=

\cfrac{1-2 \sin t \cos t}{\cos ^2 t-2 \cos t \sin t+\sin ^2 t}=

\cfrac{1-2 \sin t \cos t}{1-2 \sin t \cos t}=1

\cfrac{\sin ^2 t}{1+\cos t}+\cos t=1

Преобразуем левую часть тождества:

\cfrac{\sin ^2 t}{1+\cos t}+\cos t=

\cfrac{\sin ^2 t+\cos t(1+\cos t)}{1+\cos t}=

\cfrac{\sin ^2 t+\cos t+\cos ^2 t}{1+\cos t}= \cfrac{1+\cos t}{1+\cos t}=1

\cfrac{(\sin t+\cos t)^2}{1+2 \sin t \cos t}=

\cfrac{\sin ^2 t+2 \sin t \cos t+\cos ^2 t}{1+2 \sin t \cos t}=

\cfrac{1+2 \sin t \cos t}{1+2 \sin t \cos t}=1

\cos^2 t - \cos^4 t = \cos^2 t(1 - \cos^2 t) = \cos^2 t \sin^2 t

\sin^4 t - \sin^2 t = \sin^2 t (\sin^2 t - 1) = -\sin^2 t \cos^2 t

\sin ^4 t-\cos ^4 t+2 \cos ^2 t=

\left(\sin ^2 t-\cos ^2 t\right)\left(\sin ^2 t+\cos ^2 t\right)+2 \cos ^2 t=

\left(\sin ^2 t-\cos ^2 t\right) * 1+2 \cos ^2 t=

\sin ^2 t-\cos ^2 t+2 \cos ^2 t=\sin ^2 t+\cos ^2 t=1

\cfrac{2-\sin ^2 t-\cos ^2 t}{3 \sin ^2 t+3 \cos ^2 t}=

\cfrac{\left(1-\sin ^2 t\right)+\left(1-\cos ^2 t\right)}{3\left(\sin ^2 t+\cos ^2 t\right)}=

\cfrac{\cos ^2 t+\sin ^2 t}{3}=\cfrac{1}{3}

\sin t=\cfrac{5}{13}, 0<t<\cfrac{\pi}{2}

так как 0<t<\cfrac{\pi}{2}, значит, число лежит в первой четверти, а там положительны синус, косинус, тангенс и котангенс.

\cos t=+\sqrt{1-\sin ^2 t}=+\sqrt{1-\left(\cfrac{5}{13}\right)^2}=

+\sqrt{\cfrac{169-25}{169}}=+\sqrt{\cfrac{144}{169}}=\cfrac{12}{13}

\operatorname{tg} t=\cfrac{\sin t}{\cos t}=\cfrac{\left(\frac{5}{13}\right)}{\left(\frac{12}{13}\right)}=\cfrac{5}{12}

\operatorname{ctg} t=\cfrac{1}{\operatorname{tg} t}=\cfrac{12}{5}

По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций: \sin t=\cfrac{4}{5}, \cfrac{\pi}{2}<t<\pi

так как \cfrac{\pi}{2}<t<\pi, значит, число лежит во второй четверти, а там положителен синус и отрицательны косинус, тангенс и котангенс.

\cos t=-\sqrt{1-\sin ^2 t}=-\sqrt{1-\left(\cfrac{4}{5}\right)^2}=

-\sqrt{\cfrac{25-16}{25}}=-\sqrt{\cfrac{9}{25}}=-\cfrac{3}{5}

\operatorname{tg} t=\cfrac{\sin t}{\cos t}=\cfrac{\left(\cfrac{4}{5}\right)}{\left(-\cfrac{3}{5}\right)}=-\cfrac{4}{3}

\operatorname{ctg} t=\cfrac{1}{\operatorname{tg} t}=-\cfrac{3}{4}

\sin t=-0,6,-\cfrac{\pi}{2}<t<0

так как -\cfrac{\pi}{2}<t<0, значит, число лежит в четвертой четверти, а там положителен только косинус, а синус, тангенс и котангенс - отрицательны.

\cos t=+\sqrt{1-\sin ^2 t}=+\sqrt{1-(-0,6)^2}=

+\sqrt{1-0,36}=+\sqrt{0,64}=0,8

\operatorname{tgt}=\cfrac{\sin t}{\cos t}=\cfrac{(-0,6)}{(0,8)}=-\cfrac{3}{4}

\operatorname{ctg} t=\cfrac{1}{\operatorname{tgt}}=-\cfrac{4}{3}

\sin t=-0,28, \pi<t<\cfrac{3 \pi}{2} \quad

так как \pi<t<\cfrac{3 \pi}{2}, значит, число лежит в третьей четверти, а синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны, поэтому

\cos t=-\sqrt{1-\sin ^2 t}=-\sqrt{1-(-0,28)^2}=

-\sqrt{1-0,0784}=-\sqrt{0,9216}=-0,96

\operatorname{tg} t=\cfrac{\sin t}{\cos t}=\cfrac{(-0,28)}{(-0,96)}=\cfrac{28}{96}=\cfrac{7}{24}

\operatorname{ctg} t=\cfrac{1}{\operatorname{tg} t}=\cfrac{24}{7}