Однородные тригонометрические уравнения первой степени
Однородные тригонометрические уравнения первой степени — это уравнения, в которых тригонометрические функции синуса и косинуса связаны друг с другом через коэффициенты, а сама степень этих функций равна 1. Однородные уравнения имеют вид:
где
Основной метод решения однородных тригонометрических уравнений
Шаг 1: Разделим уравнение на \cos x
Для начала, преобразуем уравнение, разделив обе части на
Шаг 2: Выразим \operatorname{tg} x
Из этого уравнения можно выразить тангенс:
Теперь наше исходное уравнение сведено к простейшему тригонометрическому уравнению, решение которого мы знаем.
Шаг 3: Решение уравнения \operatorname{tg} x = -\cfrac{b}{a}
Общее решение уравнения вида
Таким образом, решение уравнения
Шаг 4: Учет случаев, когда \cos x = 0
Необходимо учесть случай, когда
Для таких значений
Пример 1: Решение уравнения \sin x + \sqrt{3} \cos x = 0
Шаг 1: Разделим уравнение на \cos x
Разделим обе части уравнения
Шаг 2: Выразим \operatorname{tg} x
Шаг 3: Решение уравнения \operatorname{tg} x = -\sqrt{3}
Основной угол, при котором тангенс равен
Общее решение имеет вид:
Шаг 4: Проверка случая, когда \cos x = 0
Проверим значения
Для этих значений
Итак, общее решение уравнения
3\. Пример 2: Решение уравнения 2 \sin x - 3 \cos x = 0
Шаг 1: Разделим уравнение на \cos x
Шаг 2: Выразим \operatorname{tg} x
Шаг 3: Решение уравнения \operatorname{tg} x = \cfrac{3}{2}
Основной угол, при котором тангенс равен
Общее решение уравнения имеет вид:
Шаг 4: Проверка случая, когда \cos x = 0
При
Таким образом, общее решение уравнения
4\. Альтернативный метод: Подстановка
Рассмотрим альтернативный метод решения однородных тригонометрических уравнений через введение вспомогательной переменной. Этот метод применим, если уравнение имеет вид:
Шаг 1: Поделим обе части на \cos x
Шаг 2: Выразим тангенс
Шаг 3: Решение
Общее решение
Пример. Пусть
-
Делим уравнение на
\cos x :
-
Выразим
\operatorname{tg} x :
-
Основной угол
x_0 = \text{arctg}\Big(-\cfrac{4}{3}\Big) . Общее решение:
5\. Заключение
Однородные тригонометрические уравнения первой степени сводятся к простейшим уравнениям через использование тригонометрических функций и их свойств. Основной метод решения — преобразование исходного уравнения в уравнение для тангенса с последующим нахождением общего решения. Важно помнить о периодичности тригонометрических функций, что необходимо учитывать при составлении общего решения.
